Phân tích Tìm m để phương trình có nghiệm

Tổng hợp Tìm m để phương trình có nghiệm là conpect trong bài viết hiện tại của Emerald City Convergence. Đọc bài viết để biết chi tiết nhé.

Dạng toán tìm điều kiện của tham số để phương trình, hệ phương trình có nghiệm thường xuất hiện trong đề thi TSĐH dưới dạng áp dụng phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số để tìm miền giá trị của hàm số, từ đó suy ra giá trị cần tìm của tham số m. Đây là loại bài toán không khó và chiếm một điểm trong đề thi, nên nhớ áp xét tính đơn điệu của hàm số.

Phương pháp

+ Điều kiện cho trước ở đây được rút ra từ tập xác định của hàm số hoặc được xác định từ điều kiện nghiệm của phương trình mà đề bài yêu cầu. Ta quy ước điều kiện cho trước này là miền $D$.

+ Để giải quyết dạng bài toán này ta dùng phương pháp hàm số, mục đích là biểu diễn tham số theo hàm của một ẩn trên miền $D$, sau đó tìm GTLN,GTNN của hàm số đó trên $D$.

+ Phương trình, bất phương trình dưới dạng sau thì điều kiện của tham số là:

(i). $gleft( m right) = fleft( t right),t in D Rightarrow mathop min limits_t in D fleft( t right) le gleft( m right) le mathop rmmaxlimits_t in D fleft( t right)$.

(ii). $gleft( m right) ge fleft( t right),t in D$ có nghiệm $t in D Rightarrow gleft( m right) ge mathop min limits_t in D fleft( t right)$.

(iii). $gleft( m right) le fleft( t right),t in D$ có nghiệm $t in D Rightarrow gleft( m right) le mathop rmmaxlimits_t in D fleft( t right)$.

(iv). $gleft( m right) ge fleft( t right),t in D$ có nghiệm với mọi $t$ thuộc $D$ khi và chỉ khi $gleft( m right) ge mathop rmmaxlimits_t in D fleft( t right)$.

(v). $gleft( m right) le fleft( t right),t in D$ có nghiệm với mọi $t$ thuộc $D$ khi và chỉ khi $gleft( m right) le mathop rmminlimits_t in D fleft( t right)$.

Các hướng giải quyết bài toán loại này:

(i). Xét tính đơn điệu của hàm trực tiếp theo ẩn $x$.

(ii). Nếu xuất hiện biểu thức đối xứng $left{ beginarraylsqrt ax + b  pm sqrt cx + d \sqrt left( ax + b right)left( cx + d right)endarray right.$, thì đặt $t = sqrt ax + b  pm sqrt cx + d $.

(iii). Nếu xuất hiện $sqrt a + bx ;sqrt x – bx  Rightarrow left( sqrt a + bx right)^2 + left( sqrt c – bx right)^2 = a + c$, thì đặt s $left{ beginarraylsqrt a + bx  = sqrt a + c sin alpha \sqrt c – bx  = sqrt a + c crmosalphaendarray right.$ Và sử dụng hệ thức $left{ beginarraylsin alpha  = frac2tan fracalpha 21 + tan ^2fracalpha 2\crmosalpha  = frac1 – tan ^2fracalpha 21 + tan ^2fracalpha 2endarray right.$, tiếp tục đặt $t = tan fracalpha 2$.

(iv). Nhân hai vế với hệ thức liên hợp nếu có.

BÀI TẬP MẪU

Bài 1. Tìm các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình sau có nghiệm

$6 + x + 2sqrt left( 4 – x right)left( 2x – 2 right)  = m + 4left( sqrt 4 – x  + sqrt 2x – 2 right)left( x in R right)$

Lời giải:

+Điều kiện: $1 le 4 le x$.

Đặt $t = sqrt 4 – x  + sqrt 2x – 2 $

Xét hàm số $tleft( x right) = sqrt 4 – x  + sqrt 2x – 2 $ liên tục trên đoạn $left[ 1;4 right]$.

Ta có $t’left( x right) = frac – 12sqrt 4 – x + frac22sqrt 2x – 2 Rightarrow t’left( x right) = 0 Leftrightarrow 2sqrt 4 – x  = 2sqrt 2x – 2  Leftrightarrow x = 3$.

Ta có: $t_left( 1 right) = sqrt 3 ;t_left( 3 right) = 3;t_left( 4 right) = sqrt 6  Rightarrow left{ beginarraylmathop min limits_x in left[ 1;4 right] tleft( x right) = tleft( 1 right) = sqrt 3 \mathop max limits_x in left[ 1;4 right] tleft( x right) = tleft( 3 right) = 3endarray right.$

Phương trình đã cho trở thành:

$t^2 + 4 = m + 4t Leftrightarrow m = t^2 – 4t + 4$.

Xét hàm số $fleft( t right) = t^2 – 4t + 4$

Ta có $f’left( t right) = 2t – 4$

$f’left( t right) = 0 Leftrightarrow t = 2 Rightarrow fleft( sqrt 3 right) = 7 – 4sqrt 3 ;fleft( 2 right) = 0;fleft( 3 right) = 1$

$ Rightarrow 0 le fleft( t right) le 1 Rightarrow min _fleft( t right) le m le max _fleft( t right) Rightarrow 0 le m le 1$

Vậy giá trị cần tìm của m là $0 le m le 1$.

Bài 2. Tìm các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình sau có nghiệm thực

$sqrt 1 – x  + sqrt 4 + x  + sqrt x^2 + 3x + frac94  = m$

Lời giải:

+Điều kiện: $ – 4 le x le 1$.

Khi đó phương trình tương đương với: $m = sqrt 1 – x  + sqrt 4 + x  + left| x + frac32 right|$.

Đặt $t = x + frac32 Rightarrow m = fleft( t right) = sqrt frac52 – t  + sqrt frac52 + t  + left| t right|,left( – frac52 le t le frac52 right)$.

Xét hàm số $fleft( t right) = sqrt frac52 – t  + sqrt frac52 + t  + left| t right|,left( – frac52 le t le frac52 right)$, ta có $fleft( – t right) = fleft( t right)$ nên hàm số $fleft( t right)$ chẵn, nên ta chỉ cần chỉ cần xét $fleft( t right)$ trên $left[ 0;frac52 right]$. Khi đó $fleft( t right) = sqrt frac52 – t  + sqrt frac52 + t  + t$.

+Ta có

$f’left( t right) = frac – 12sqrt frac52 – t + frac12sqrt frac52 + t + 1 Rightarrow f’left( t right) = 0 Leftrightarrow sqrt frac52 – t  = sqrt frac52 + t  Leftrightarrow  = 0left( * right)$

Giải phương trình (*):

+Đặt $u = sqrt frac52 – t  = sqrt frac52 + t left( u < 0 right) Rightarrow u^2 = 5 – 2sqrt left( frac52 – t right)left( frac52 + t right) $

Khi đó phương trình (*) trở thành:

$u + 5 – u^2 = 0 Leftrightarrow u = frac1 – sqrt 21 2 Rightarrow {left( {frac1 – sqrt 21 2} right)^2} = 5 – 2sqrt frac254 – t^2  Leftrightarrow t = sqrt frac39 + sqrt 21 8 $

Ta có: $fleft( 0 right) = sqrt 10 ;fleft( frac52 right) = sqrt 5  + frac52;fleft( sqrt frac39 + sqrt 21 8 right) = sqrt frac9 + sqrt 21 2  + sqrt frac39 + sqrt 21 8 $

Từ đó suy ra :

$left{ beginarraylmathop min limits_x in left[ 0;frac52 right] fleft( x right) = fleft( 0 right) = sqrt 10 \mathop max limits_x in left[ 0;frac52 right] fleft( x right) = fleft( {sqrt frac39 + sqrt 21 8 } right) = sqrt frac9 + sqrt 21 2  + sqrt {frac39 + sqrt 21 8}endarray right.$

Vậy giá trị cần tìm của $m$ là: $sqrt 10  le m le sqrt {frac9 + sqrt 21 2}  + sqrt {frac{39 + sqrt 21 }8} $

Bài 3. Tìm các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình sau đây có nghiệm thực

$2sqrt[3]3x – 2m + 3sqrt 6x – 5m  – 8 = 0$

Lời giải:

+ Điều kiện: $x ge frac5m6$

Đặt $left{ beginarraylu = sqrt[3]3x – 2m\v = sqrt 6x – 5mendarray right. Rightarrow left{ beginarraylu^3 = 3x – 2m\v^2 = 6x – 5mendarray right.$

Từ đó suy ra: $3u^3 – v^2 = mleft( 1 right);2u + 3v – 8 = 0left( 2 right)$

Từ (1) và (2) ta suy ra $ Rightarrow m = 2left( frac8 – 3v2 right)^3 – v^2$

Xét hàm số $fleft( v right) = 2left( frac8 – 3v2 right)^3 – v^2$ liên tục trên đoạn $left[ 0; + infty right)$.

Ta có$f’left( v right) =  – 9{left( frac8 – 3v2 right)^2} – 2v le 0,forall v ge 0$. Suy ra hàm số $fleft( v right)$ nghịch biến trên đoạn $left[ 0; + infty right)$.

Mặt khác $mathop lim limits_v to infty   le 128,forall v ge 0 Rightarrow $

để phương trình có nghiệm thì $m le 128$.

Vậy giá trị cần tìm của $m$ là: $left( – infty ;128 right]$.

Bài 4. Tìm các giá trị của tham số $m$ để phương trình sau có đúng 2 nghiệm thực phân biệt: $sqrt[4]2x + sqrt 2x  + 2sqrt[4]6 – x = m$

Lời giải:

Điều kiện: $0 le x le 6$.

Xét hàm số liên tục trên đoạn $left[ 0;6 right]$.

Ta có $f’left( x right) = frac1{2sqrt[4]left( 2x right)^3} + frac1sqrt 2x – frac1{2sqrt[4]left( 6 – x right)^3} – frac1sqrt 6 – x $

$beginarraylRightarrow f’left( x right) = 0 Leftrightarrow frac1{{2sqrt[4]{left( 2x right)^3}}} + frac1sqrt 2x – frac1{{2sqrt[4]{left( 6 – x right)^3}}} – frac1sqrt 6 – x = 0\Leftrightarrow frac12left( {frac1{{sqrt[4]{{{left( 2x right)^3}}}}} – frac1{{sqrt[4]{{{left( 6 – x right)^3}}}}}} right) + left( {frac1sqrt 2x – frac1sqrt 6 – x } right) = 0\Leftrightarrow frac12left( frac1sqrt[4]2x – frac1sqrt[4]6 – x right)left( {frac1sqrt[4]2x + frac1{sqrt[4]2xleft( 6 – x right)} + frac1{sqrt 6 – x }} right) + left( frac1sqrt[4]2x – frac1sqrt[4]6 – x right)left( {frac1sqrt[4]2x + frac1sqrt[4]6 – x} right) = 0\Leftrightarrow left( {frac1sqrt[4]2x – frac1sqrt[4]6 – x} right)left( {frac12sqrt[4]2x + frac1{{2sqrt[4]2xleft( 6 – x right)}} + frac12sqrt 6 – x frac1{sqrt[4]2x} + frac1{sqrt[4]6 – x}} right) = 0\Leftrightarrow frac1{{sqrt[4]2x}} – frac1{{sqrt[4]6 – x}} Leftrightarrow 2x = 6 – x Leftrightarrow x = 2endarray$

Ta có $left{ beginarraylfleft( 0 right) = 2sqrt 6  + 2sqrt[4]6\fleft( 2 right) = 6 + 3sqrt 2 \fleft( 6 right) = sqrt[4]12 + sqrt 12endarray right.$

Lập bảng biến thiên của hàm số $fleft( x right)$ trên đoạn $left[ 0;6 right]$, ta suy ra để phương trình có đúng 2 nghiệm thực thì : $2sqrt 6  + 2sqrt[4]6 le m| < 6 + 3sqrt 2 $

Bài 5. Tìm $m$ để phương trình sau có nghiệm thực: $3sqrt x – 1  + msqrt x + 1  = sqrt[4]x^2 – 1$

Lời giải:

+ Điều kiện: $x ge 1$.

Phương trình đã cho tương đương với $3sqrt fracx – 1x + 1  + m = sqrt[4]fracx – 1x + 1left( * right)$

Ta đặt $t = sqrt[4]fracx – 1x + 1$, xét hàm số $tleft( x right) = sqrt[4]fracx – 1x + 1$ trên đoạn $left[ 1; + infty right)$ .

Ta có $t’left( x right) = frac1{2left( x + 1 right)^2}left( fracx – 1x + 1 right)^frac – 34 > 0,forall x ge 1$

Mặt khác ta có:  $left{ beginarraylmathop lim limits_x to infty t = mathop lim limits_x to infty sqrt[4]fracx – 1x + 1 = 1\tleft( 1 right) = 0endarray right. Rightarrow 0 le t < 1$

Phương trình (*) trở thành: $m = t – 3t^2$

Xét hàm số $fleft( t right) = t – 3t^2$  liên tục trên đoạn $left[ 0;1 right)$.

Ta có $f’left( t right) = 1 – 6t Rightarrow f’left( t right) = 0 Leftrightarrow t = frac16$

Ta có: $left{ beginarraylRightarrow fleft( 0 right) = 0\fleft( frac16 right) = frac112\fleft( 1 right) =  – 2endarray right. Rightarrow left{ beginarraylmathop min limits_t in left[ 0;1 right)  = fleft( 1 right) =  – 2\mathop max limits_t in left[ 0;1 right)  = fleft( frac16 right) = frac112endarray right.$

Vậy để phương trình có nghiệm thì  $ – 2 le m le frac112$

Bài 6. Tìm $m$ để phương trình sau có nghiệm thực:

$sqrt x^2 + x + 1  – sqrt x^2 – x + 1  = m$

Lời giải:

Xét hàm số $fleft( x right) = sqrt x^2 + x + 1  – sqrt x^2 – x + 1 $ liên tục và xác định trên $R$.

Ta có $f’left( x right) = frac2x + 12sqrt x^2 + x + 1 – frac2x – 12sqrt x^2 – x + 1 $

Suy ra $beginarraylf’left( x right) = 0 Leftrightarrow left( 2x + 1 right)sqrt x^2 + x + 1  = left( 2x – 1 right)sqrt x^2 – x + 1 \Rightarrow left( 2x + 1 right)^2left( x^2 – x + 1 right) = left( 2x – 1 right)^2left( x^2 + x + 1 right) Rightarrow x = 0endarray$

Thử lại thấy $x = 0$ không thỏa mãn, vậy $f’left( x right)$ không đổi dấu trên tập xác định. Mặt khác lại có $f’left( 0 right) = 1 Rightarrow f’left( x right) > 0,forall x in R$. Vậy $fleft( x right)$ đồng biến trên $R$.

Ta có $mathop lim limits_x to  – infty fleft( x right) = mathop lim limits_x to  – infty left( sqrt x^2 + x + 1  – sqrt x^2 – x + 1 right) = mathop lim limits_x to  – infty frac{2x}sqrt x^2 + x + 1  + sqrt x^2 – x + 1 = mathop lim limits_x to  – infty frac2 – sqrt 1 + frac1x + frac1x^2  – sqrt 1 – frac1x + frac1x^2 =  – 1$

Và tương tự ta có, $mathop lim limits_x to  + infty fleft( x right) = 1$.

Từ đó suy ra : $ – 1 < fleft( x right) < 1$.

Vậy để phương trình có nghiệm thì $ – 1 < m < 1$.

Bài 7. Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: $3left( 3x – 2 right)sqrt[3]3x – 2 + 2left( 6 – 5x right)sqrt 6 – 5x  – 48x = m$

Lời giải:

Xét hàm số $fleft( x right) = 3left( 3x – 2 right)sqrt[3]3x – 2 + 2left( 6 – 5x right)sqrt 6 – 5x  – 48x$ liên tục trên đoạn $left( 0;frac65 right]$

Ta có $beginarraylf’left( x right) = 12sqrt[3]3x – 2 + 18sqrt 6 – 5x  – 48\Rightarrow f’left( x right) = 0 Leftrightarrow 2sqrt[3]3x – 2 + 3sqrt 6 – 5x  – 8 = 0left( * right)endarray$

Giải phương trình (*):

Đặt $left{ beginarraylu = sqrt[3]3x – 2\v = sqrt 6 – 5xendarray right. Leftrightarrow left{ beginarraylu^3 = 3x – 2\v^2 = 6 – 5xendarray right. Rightarrow 5u^3 + 3v^2 = 8left( 1 right)$

Và từ (*) ta có $2u^3 + 3v^2 – 8 = 0left( 2 right)$

Từ (1) và (2) ta suy ra: $5u^3 + 3left( frac8 – 2u3 right)^2 = 8 Leftrightarrow left( u + 2 right)left( 15u^2 – 26u + 20 right) = 0$

$ Leftrightarrow u =  – 2 Leftrightarrow sqrt[3]3x – 2 =  – 2 Rightarrow x =  – 2$

Vậy $f’left( x right) = 0 Leftrightarrow x =  – 2$

Ta có $left{ beginarraylfleft( – 2 right) = 272\fleft( frac65 right) = frac485sqrt[3]5 – frac2885\mathop lim limits_x to  – infty fleft( x right) =  + inftyendarray right. Rightarrow mathop min limits_t in left( 0;frac65 right] fleft( x right) = fleft( frac65 right) = frac485sqrt[3]5 – frac2885$

Vậy để phương trình có nghiệm thì $m ge frac485sqrt[3]5 – frac2885$

Bài 8. Tìm $m$ để phương trình sau đây có nghiệm thực: $left( 4m – 3 right)sqrt x + 3  + left( 3m – 4 right)sqrt 1 – x  + m – 1 = 0$

Lời giải:

+ Điều kiện: $ – 3 le x le 1$.

Phương trình đã cho tương đương với $mleft( 4sqrt x + 3  + 3sqrt 1 – x  + 1 right) = 1 + 4sqrt 1 – x  + 3sqrt x + 3 $

$m = frac1 + 4sqrt 1 – x  + 3sqrt x + 3 4sqrt x + 3  + 3sqrt 1 – x  + 1left( * right)$

Ta có $left( sqrt 1 – x right)^2 + left( sqrt x + 3 right)^2 = 4$, nên ta đặt $left{ beginarraylsqrt 1 – x  = 2sin alpha \sqrt x + 3  = 2cos aendarray right..left( 0 le alpha  le fracpi 2 right)$

Sử dụng 2$sin alpha  = frac2tan fracalpha 21 + tan ^2fracalpha 2;cos alpha  = frac{1 – tan ^2fracalpha 2}{1 + tan ^2fracalpha 2}$ và đặt $t = tan ^2fracalpha 2left( 0 le t le 1 right)$.

Khi đó (*) trở thành: $m = frac1 + t^2 + 16t + 6left( 1 – t^2 right)8left( 1 – t^2 right) + 12t + 1 + t^2 = frac – 5t^2 + 16t + 7 – 7t^2 + 12t + 9$

Xét hàm số $fleft( t right) = frac – 5t^2 + 16t + 7 – 7t^2 + 12t + 9$ liên tục trên đoạn $left[ 0;1 right]$.

Ta có $f’left( t right) = frac52t^2 + 8t + 60{{{left( – 7t^2 + 12t + 9 right)^2}}} Rightarrow f’left( t right) > 0,forall t in left[ 0;1 right]$. Suy ra hàm số $fleft( t right)$ đồng biến trên $left[ 0;1 right]$.

Suy ra $left{ beginarraylmathop min limits_t in left[ 0;1 right] fleft( x right) = fleft( 0 right) = frac79\mathop max limits_t in left[ 0;1 right] fleft( x right) = fleft( 1 right) = frac97endarray right.$

Vậy để phương trình có nghiệm thì $frac79 le m le frac97$.

Bài 9. Tìm những giá trị thực dương của tham số $m$ để phương trình sau đây có nghiệm thực không vượt quá 6 .

$sqrt left( x + 2 right)left( 2x – 1 right)  – 3sqrt x + 6  = m – sqrt left( x + 6 right)left( 2x – 1 right)  + 3sqrt x + 2 $.

Lời giải: Điều kiện $x ge frac12$.

Khi đó phương trình tương đương với $left( sqrt x + 2  + sqrt x + 6 right)left( sqrt 2x – 1  – 3 right) = mleft( * right)$

Với những giá trị thực dương của tham số $m$ nên để phương trình (*) có nghiệm thì $sqrt 2x – 1  – 3 > 0 Leftrightarrow x > 5$

Vậy ta xét hàm số $fleft( x right) = left( sqrt x + 2  + sqrt x + 6 right)left( sqrt 2x – 1  – 3 right)$ trên khoảng $left( 5;6 right]$

Ta có $f’left( x right) > 0,forall x in left( 5;6 right)$. Và $fleft( 5 right) = 0;fleft( 6 right) = 6sqrt 2 left( sqrt 11  – 3 right)$

Vậy $0 < m le 6sqrt 2 left( sqrt 11  – 3 right)$ là giá trị cần tìm.

Bài 10. Xác định tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hệ sau đây có nghiệm thực: 3 $left{ beginarraylx + frac1x + y + frac1y = 5\x^3 + frac1x^3 + y^3 + frac1y^3 = 15m – 10endarray right.$

Lời giải: Hệ phương trình đã cho tương đương với: $left{ beginarraylx + frac1x + y + frac1y = 5\left( x + frac1x right)^3 + left( y + frac1y right)^3 – 3left( x + frac1x right) – 3left( y + frac1y right) = 15m – 10endarray right.$$beginarraylLeftrightarrow left{ beginarraylx + frac1x + y + frac1y = 5\left( x + frac1x right)^3 + left( y + frac1y right)^3 = 15m + 5endarray right.\Leftrightarrow left{ beginarraylx + frac1x + y + frac1y = 5\left( x + frac1x + y + frac1y right)^3 – 3left( x + frac1x right)left( y + frac1y right)left( x + frac1x + y + frac1y right) = 15m + 5endarray right.\Leftrightarrow left{ beginarraylx + frac1x + y + frac1y = 5\left( x + frac1x right)left( y + frac1y right) = 8 – mendarray right.endarray$

Đặt $left{ beginarraylu = x + frac1x\v = y + frac1yendarray right.left( left right)$

$ Rightarrow u,v$ là nghiệm của phương trình: $t^2 – 5t + left( 8 – m right) = 0left( 1 right)$

Yêu cầu bài toán tương đương với phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn $left| t right| ge 2$.

Từ (1) ta có: $m = fleft( t right) = t^2 – 5t + 8left( left right) Rightarrow f’left( t right) = 2t – 5 Rightarrow f’left( t right) = 0 Leftrightarrow t = frac52$

Ta có: $fleft( – 2 right) = 22;fleft( 2 right) = 2;fleft( frac52 right) = frac74;mathop lim limits_x to infty fleft( x right) =  + infty $

+ Để (1) có 2 nghiệm phân biệt $left( t right right)$ thì đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị hàm số $y = fleft( t right)$ tại 2 điểm phân biệt. Lập bảng biến thiên hàm số $fleft( t right)$, dựa vào bảng biến thiên $ Rightarrow frac74 < m le 2 cup 22 le m <  + infty $ là giá trị cần tìm.

Bài 11. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hệ phương trình sau có nghiệm thực:

$left{ beginarraylleft( 3 – m right)sqrt 2 – x  – 2ysqrt 2y – 1  = 0left( 1 right)\3sqrt y – 1  – msqrt 10 – 2x  = 2sqrt[4]y^2 – 1left( 2 right)endarray right.left( * right)$

Lời giải:

+ Điều kiện: $x le 2;y ge 1$.

Khi đó phương trình (1) tương đương với: $left( 1 + 2 – x right)sqrt 2 – x  = left( 1 + 2y – 1 right)sqrt 2y – 1 $

$ Leftrightarrow fleft( sqrt 2 – x right) = fleft( sqrt 2y – 1 right)$, trong đó $fleft( t right) = left( 1 + t right)sqrt t left( t ge 0 right)$.

Ta có $f’left( t right) = sqrt t  + frac1 + t2sqrt t > 0,forall r ge 0 Rightarrow $ hàm số $fleft( t right)$ đồng biến trên $left[ 0; + infty right)$

$ Rightarrow fleft( sqrt 2 – x right) = fleft( sqrt 2y – 1 right) Leftrightarrow sqrt 2 – x  = sqrt 2y – 1  Rightarrow x = 3 – 2y le 1 < 2left( y ge 1 right)$

Thay $x = 3 – 2y$ vào (2) ta được : $3sqrt y – 1  – 2m + 1 = 2sqrt[4]y^2 – 1left( 1 right)$. Do vậy ta chỉ cần tìm $m$ để phương trình (1) có nghiệm $y ge 1$.

Chia cả hai vế của (1) cho $sqrt[4]y^2 – 1$ ta được: $3sqrt fracy – 1y + 1  – 2m = 2sqrt[4]fracy – 1y + 1left( i right)$, đặt $t = sqrt[4]{fracy – 1y + 1} Rightarrow 0 le t < 1$. Khi đó phương trình (i) trở thành: $m = frac32t^2 – t$.

Xét hàm số $fleft( t right) = t – 3t^2$ liên tục trên đoạn $left[ 0;1 right)$.

Ta có $f’left( t right) = 3t – 1 Rightarrow f’left( t right) = 0 Leftrightarrow t = frac13$.

Lại có: $fleft( 0 right) = 0;dleft( frac13 right) = frac – 16;fleft( 1 right) = frac12 Rightarrow frac – 16 le fleft( t right) < frac12$.

Vậy để phương trình có nghiệm thì $frac – 16 le m < frac12$

Bài 12. Tìm $m$ để hệ phương trình sau có nghiệm:

$left{ beginarrayl2x^3 – left( y + 2 right)x^2 + xy = m\x^2 + x – y = 1 – 2mendarray right.left( * right)$

Lời giải:

Hệ phương trình đã cho tương đương với: $left{ beginarraylleft( x^2 – x right)left( 2x – y right) = m\x^2 – x + 2x – y = 1 – 2mendarray right.$

Ta đặt $left{ beginarraylu = x^2 – x ge frac – 14\v = 2x – yendarray right.$

Khi đó hệ trở thành: $left{ beginarrayluv = m\u + v = 1 – 2mendarray right. Leftrightarrow left{ beginarraylu^2 + left( 2m – 1 right)u + m = 0left( 1 right)\v = 1 – 2m – uendarray right.$

Vậy hệ có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm thỏa mãn $u ge frac – 14$

Với $u ge frac – 14$, Từ $left( 1 right) Leftrightarrow mleft( 2u + 1 right) =  – u^2 + u Leftrightarrow m = frac – u^2 + u2u + 1$.

Xét hàm số $fleft( u right) = frac – u^2 + u2u + 1$ liên tục trên đoạn $left[ – frac14; + infty right)$.

Ta có: $f’left( u right) =  – frac2u^2 + 2u – 12u + 1 Rightarrow f’left( u right) = 0 Leftrightarrow u = frac1 + sqrt 3 2$.

Lại có: $fleft( frac – 14 right) = frac – 58;fleft( frac – 1 + sqrt 3 2 right) = frac2 – sqrt 3 2;mathop lim limits_u to  + infty fleft( u right) =  – infty $

Lập bảng biến thiên của hàm số $fleft( u right)$ ta suy ra để hệ có nghiệm thì $m le frac2 – sqrt 3 2$

Bài 13. Xác định tham số $m$ để hệ phương trình sau có nghiệm:

$left{ beginarraylmleft( x^2 + sqrt[3]x^4 + sqrt[3]x^2 + 1 right) = xy\,left( sqrt[3]x^8 + x^2 + sqrt[3]x^2 + 1 right) + left( m – 1 right)sqrt[3]x^4 = 2ysqrt[3]x^4endarray right.left( * right)$

Lời giải

+Nếu $m = 0 Rightarrow left( * right) Rightarrow left{ beginarraylxy = 0\- sqrt[3]x^4 = 2ysqrt[3]x^4endarray right. Leftrightarrow left{ beginarraylx = 0\y in Rendarray right.$

+Nếu $m ne 0$; Đặt $t = sqrt[3]x$, khi đó $t = 0$ không là nghiệm của hpt;và hệ phương trình trở thành:

$left{ beginarraylmleft( t^6 + t^4 + t^2 + l right) = x^3\mleft( t^8 + t^6 + t^2 + 1 right) + left( m – 1 right)t^4 = 2x^4endarray right.$$left{ beginarraylmleft( t^6 + t^4 + t^2 + l right) = yt^3left( 1 right)\mleft( t^8 + t^6 + t^2 + 1 right) = left( 2y + 1 right)t^4left( 2 right)endarray right.$

+Do $t = 0$ không là nghiệm của hpt, nên chia 2 vế của(1) cho $t^3$ và của(2) cho $t^4$, ta được:

$left{ beginarraylmleft( t^3 + frac1t^3 + t + frac1t right) = y\mleft( t^4 + frac1t^4 + t^2 + frac1t^2 + 1 right) = 2y + 1endarray right.$$t^3 + frac1t^3 = left( t + frac1t right)^3 – 3left( t + frac1t right);t^4 + frac1t^4 = left( t^2 + frac1t^2 right)^2 – 2;t^2 + frac1t^2 = left( t + frac1t right)^2 – 2$

Đặt $u = t + frac1tleft( left right)$, Khi đó HPT trở thành:

$left{ {beginarray*20lm(u^3 – 3u + u) = y\{mleft[ {left( u^2 – 2 right)^2 – 2 + u^2 – 2 + l} right] = 2y + l}endarray} right. Leftrightarrow left{ beginarraylmleft( u^3 – 2u right) = y\mleft( u^4 – 3u^2 + 1 right) = 2y + 1endarray right.$$ Leftrightarrow left{ beginarray*20lmleft( u^3 – 2u right) = y\mleft( u^4 – 3u^2 + 1 right) = 2mleft( u^3 – 2u right) + 1left( 3 right)endarray right.$

+Hệ có nghiệm khi và chỉ khi (3) có nghiệm $left| u right| ge 3$

$left( 3 right) Leftrightarrow mleft( u^4 – 3u^2 + 1 – 2u^3 + 4u right) = 1 Leftrightarrow frac1m = fleft( u right) = u^4 – 2u^3 – 3u^2 + 4u + l$

+ $f’left( u right) = 4u^3 – 6u^2 – 6u + 4;fleft( u right) = 0 Leftrightarrow u = 2(left| u right| > 2)$

Lập bảng biến thiên của $fleft( u right)$ ta suy ra (3) có nghiệm thỏa mãn ($left| u right| ge 2$) khi và chỉ khi:

$frac1m ge  – 3 Leftrightarrow left[ beginarraylm > 0\m le frac – 13endarray right.$

Vậy giá trị cần tìm của $m$ là: $left[ beginarraylm > 0\m le frac – 13endarray right.$

Bài 14. Tìm $m$ để phương trình sau có nghiệm thực:

$mleft( sqrt 4 – x  + sqrt 5 – x  + frac12x right) – 2sqrt x  + sqrt x – 1  + 3left( * right)$

Lời giải

Điều kiện: $1 le x le 4$.

Khi đó phương trình tương đương với: $m = frac2sqrt x  + sqrt x – 1  + 3sqrt 4 – x  + sqrt 5 – x  + frac12x$

Ta có $fleft( x right) = frac2sqrt x  + sqrt x – 1  + 3sqrt 4 – x  + sqrt 5 – x  + frac12x = fraculeft( x right)vleft( x right)$ liên tục trên đoạn $left[ 1;4 right]$

Trong đó $left{ beginarrayluleft( x right) = 2sqrt x  + sqrt x – 1  + 3 > 0\vleft( x right) = sqrt 4 – x  + sqrt 5 – x  + frac12x > 0endarray right.,left( 1 le x le 4 right)$

Ta có $f’left( x right) = fracu’left( x right)vleft( x right) – vleft( x right)uleft( x right)v^2left( x right)$

Mặt khác, ta có: $u’left( x right) = frac1sqrt x + frac12sqrt x – 1 > 0$

$v’left( x right) = frac – 12sqrt 4 – x – frac12sqrt 5 – x + frac12 < frac12 + frac – 12sqrt 5 – x – frac12sqrt 5 – x < frac12 – frac1sqrt 5 – x le 0left( sqrt 5 – x  le 2 right)$

Từ đó suy ra : $ =  > f’left( x right) > 0$. Hàm số $fleft( x right)$ đồng biến trên đoạn $left[ 1;rm 4 right]$.

$ Rightarrow mathop minlimits_x in left[ – 1;4 right] fleft( x right) = fleft( 1 right) = frac105 + 2sqrt 3 ;mathop max limits_x in left[ – 1;4 right] fleft( x right) = fleft( 4 right) = frac7 + sqrt 3 3,x in left[ 1;4 right]$

Vậy để phương trình có nghiệm thì $frac105 + 2sqrt 3 le m le frac7 + sqrt 3 3$

Bài 15. Xác định $m$ để phương trình sau có nghiệm

$xsqrt x  + sqrt x + 12  = mleft( sqrt 5 – x  + sqrt 4 – x right)$

Lời giải

+Điều kiện $0 le x le 4$.

Nhân cả 2 vế của phương trình với$sqrt 5 – x  + sqrt 4 – x $, phương trình trở thành $m = left( xsqrt x  + sqrt x + 12 right)left( sqrt 5 – x  + sqrt 4 – x right)$.

Xét hàm số $beginarraylfleft( x right) = left( xsqrt x  + sqrt x + 12 right)left( sqrt 5 – x  + sqrt 4 – x right) = uleft( x right).vleft( x right)\left[ 1;4 right]endarray$.

Trong đó:

$left{ beginarrayluleft( x right) = xsqrt x  + sqrt x + 12  > 0\vleft( x right) = sqrt 5 – x  + sqrt 4 – x  > 0endarray right. Rightarrow left{ beginarraylu’left( x right) = frac32sqrt x  + frac12sqrt x + 12 > 0\v’left( x right) = fracsqrt 5 – x  – sqrt 4 – x 2sqrt 5 – x sqrt 4 – x > 0endarray right.$

Từ đó suy ra:

$f’left( x right) = u’left( x right)vleft( x right) + v’left( x right)uleft( x right) > 0$. Hàm số $fleft( x right)$ đồng biên trên đoạn $left[ 0;4 right]$.

Suy ra $mathop minlimits_x in left[ 0;4 right] fleft( x right) = fleft( 0 right) = 2sqrt 15  – 4sqrt 3 ;mathop max limits_x in left[ 0;4 right] fleft( x right) = fleft( 4 right) = 12,x in left[ 0;4 right]$

Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $2sqrt 15  – 4sqrt 3  le m le 12$.

Bài 16. Xác định $m$ để bất phương trình sau có nghiệm:

$x^3 – 3x + 1 le m(sqrt x  – sqrt x + 1 )^3$

Lời giải:

Điều kiện: $x ge 1$.

Khi đó nhân cả 2 vế của bất phương trình với $left( sqrt x  – sqrt x + 1 right)^3 > 0$, bất phương trình trở thành: $left( x^3 – 3x + 1 right)left( sqrt x  – sqrt x + 1 right)^3 le mleft( sqrt x  – sqrt x + 1 right)^3left( sqrt x  – sqrt x + 1 right)^3 = m$

$fleft( x right) = left( x^3 – 3x + 1 right)left( sqrt x  – sqrt x + 1 right)^3 le m$

Suy ra để bất phương trình có nghiệm là $m ge mathop min limits_x to left[ 1; + infty right) fleft( x right)$.

Xét hàm số $fleft( x right) = left( x^3 – 3x + 1 right)left( sqrt x  – sqrt x + 1 right)^3 = uleft( x right).vleft( x right)$

trong đó:

$left{ beginarrayluleft( x right) = x^3 – 3x + 1 > 0\vleft( x right) = left( sqrt x  – sqrt x + 1 right)^3 > 0endarray right.,forall x ge 1$

Ta có $u’left( x right) = 3x^2 – 3 > 0$; $v’left( x right) = frac32left( frac1sqrt x – frac1sqrt x + 1 right)left( sqrt x  + sqrt x + 1 right)^2 > 0$

$ Rightarrow f’left( x right) = u’left( x right)vleft( x right) + v’left( x right)mleft( x right) > 0$. Hàm số $fleft( x right)$ đồng biến trên khoảng $left[ 1; + infty right)$.

$mathop min limits_x to left[ 1; + infty right) fleft( x right) = fleft( 1 right) =  – 1,forall x ge 1$

+) Để bpt có nghiệm khi và chỉ khi $m ge mathop min limits_x to left[ 1; + infty right) fleft( x right) =  – 1$.

Vậy giá trị cần tìm của $m$ là: $left[ 1; + infty right)$.

Bài 17. Tìm $m$ để hệ phương trình sau

$left{ beginarrayl7^2x + sqrt x + 1 – 7^2 + sqrt x + 1 + 2012x le 2012left( 1 right)\x^2 – left( m + 2 right)x + 2m + 3 ge 0left( 2 right)endarray right.$ có nghiệm

Lời giải:

+ Điều kiện: $m ge  – 1$, Khi đó ta có:

$beginarraylleft( 1 right) Leftrightarrow 7^2x + sqrt x + 1 – 7^2 + sqrt x + 1 + 2012x le 2012\Leftrightarrow 7^2x + sqrt x + 1 + 1006left( 2x + sqrt x + 1 right) = 7^2 + sqrt x + 1 + 1006left( 2 + sqrt x + 1 right)\Leftrightarrow fleft( 2x + sqrt x + 1 right) le fleft( 2 + sqrt x + 1 right)left( * right)endarray$

Với $fleft( t right) = 7^t + 10061$, ta có

$fleft( t right) = 7^tln7 + 1006 > 0$, suy ra $fleft( t right)$ đồng biến trên $R$, và từ $left( * right) Rightarrow 2x + sqrt x + 1  le 2 + sqrt x + 1  Leftrightarrow  – 1 le x le 1$.

Vậy hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi (2) có nghiệm $x in left[ – 1;1 right]$

$ Leftrightarrow x^2 – left( m + 2 right)x + 2m + 3 ge 0$ có nghiệm $x in left[ – 1;1 right]$

$ Leftrightarrow m ge gleft( x right) = fracx^2 – 2x + 3x – 2;x in left[ – 1;1 right]$

$ Leftrightarrow m ge mathop min limits_m in left[ – 1;1 right] gleft( x right)$

Ta có: $g’left( x right) = fracx^2 – 4x + 1{{left( x – 2 right)^2}} Rightarrow g’left( x right) = 0 Leftrightarrow x = 2 – sqrt 3  in left[ – 1;1 right]$

+ $gleft( – 1 right) =  – 2;gleft( 2 – sqrt 3 right) = 2 – 2sqrt 3 ;gleft( 1 right) =  – 2 Rightarrow mathop min limits_x in left[ – 1;1 right] gleft( x right) = gleft( pm 1 right) =  – 2$.

Vậy $m ge  – 2$ là giá trị cần tìm.

Bài 18. Biết rằng $fleft( t right) = 3sqrt 2 + t  – 6sqrt 2 – t  + 4sqrt 4 – t^2  – 10 + 3t, – 2 le t le 2$, xác định giá trị của $m$ để phương trình sau có nghiệm:

$m = int_0^x fleft( t right)dt ;x in left[ – 2;2 right]$

Lời giải:

Ta có: $m = Fleft( x right) = int_0^x fleft( t right)dt ;x in left[ – 2;2 right]$$beginarraylF’left( x right) = fleft( x right) Rightarrow F’left( x right) = 0 Leftrightarrow 3sqrt 2 + t  – 6sqrt 2 – t  + 4sqrt 4 – t^2  = 10 + 3t\Leftrightarrow 3left( sqrt 2 + t  – 2sqrt 2 – t right) + 4sqrt 4 – t^2  = 10 + 3tleft( * right)endarray$

Đặt $u = sqrt 2 + x  – 2sqrt 2 – x  Rightarrow u^2 = 2 + x – 4sqrt 4 – x^2  + 4left( 2 – x right) = 10 + 3x – 4sqrt 4 – x^2 $

Khi đó phương trình (*) trở thành: $3u = u^2 Leftrightarrow left[ beginarraylu = 0\u = 3endarray right. Leftrightarrow left[ beginarrayl2 + x = 2sqrt 2 – x \2 + x = 2sqrt 2 – x  + 3endarray right. Leftrightarrow x = frac65$

Ta tìm GTLN và GTNN của $Fleft( x right),x in left[ – 2;2 right]$, ta có:

+ $Fleft( – 2 right) = int_0^ – 2 fleft( x right)dt  = int_0^ – 2 left( 3sqrt 2 + x  – 6sqrt 2 – x  + 4sqrt 4 – x^2  – 10 + 3x right) dx = 58 – 12sqrt 2  – 4pi $

+ $Fleft( frac65 right) = int_0^frac65 left( 3sqrt 2 + x  – 6sqrt 2 – x  + 4sqrt 4 – x^2  – 10 + 3x right) dx = 32fracsqrt 5 5 – frac24625 + 8arcsin frac35 – 4sin left( 2arcsin frac35 right)$

+ $Fleft( 2 right) = int_0^2 left( 3sqrt 2 + x  – 6sqrt 2 – x  + 4sqrt 4 – x^2  – 10 + 3x right) dx = 2 – 12sqrt 2  + 4pi $

$ Rightarrow mathop min limits_x in left[ – 2;2 right] Fleft( x right) = Fleft( 2 right) = 2 – 12sqrt 2  + 4pi ;mathop min limits_x in left[ – 2;2 right] Fleft( x right) = Fleft( – 2 right) = 58 – 12sqrt 2  – 4pi $

$ Rightarrow 2 – 12sqrt 2  + 4pi  le m le 58 – 12sqrt 2  – 4pi $.

Bài 19. Xác định giá trị của tham số $m$ để bất phương trình sau có nghiệm thuộc đoạn $left[ – sqrt 3 ;sqrt 3 right]$

$2sqrt fracx^2 + x + 1x + 4  + x^2 – 4 – frac2sqrt x^2 + 1 ge mleft( * right)$

Lời giải:

$BPTleft( * right) Leftrightarrow m le fleft( x right) = 2sqrt fracx^2 + x + 1x + 4  + x^2 – 4 – frac2sqrt x^2 + 1 $

Vậy (*) có nghiệm thuộc đoạn $left[ – sqrt 3 ;sqrt 3 right]$ khi và chỉ khi $m le mathop min limits_x in left[ – sqrt 3 ;sqrt 3 right] fleft( x right)$

Ta chứng minh: $fleft( x right) le  – forall x in left[ – sqrt 3 ;sqrt 3 right]$, thật vật với $forall x in left[ – sqrt 3 ;sqrt 3 right]$ thì ta có $fleft( x right) = 2sqrt fracx^2 + x + 1x + 4  + x^2 – 4 – frac2sqrt x^2 + 1 $

$ = 2left( sqrt fracx^2 + x + 1x + 4  – 1 right) + left( x^2 – 3 right) + left( {1 – frac2{{sqrt x^2 + 1 }}} right)$

$ = 2left( {frac{fracx^2 + x + 1x + 4 – 1}{{sqrt fracx^2 + x + 1x + 4  + 1}}} right) + left( x^2 – 3 right) + fracleft( x^2 – 3 right)sqrt x^2 + 1 left( 2 + sqrt x^2 + 1 right)$

$ = frac2left( x^2 – 3 right){{sqrt {left( x^2 + x + 1 right)left( x + 4 right)}  + x + 4}} + left( x^2 – 3 right) + frac{left( x^2 – 3 right)}{sqrt x^2 + 1 left( 2 + sqrt x^2 + 1 right)}$

$ = left( x^2 – 3 right)left( {frac2{{sqrt {left( x^2 + x + 1 right)left( x + 4 right)}  + x + 4}} + 1 + frac1{{sqrt x^2 + 1 left( 2 + sqrt x^2 + 1 right)}}} right) le 0,forall x in left[ – sqrt 3 ;sqrt 3 right]$ vậy giá trị cần tìm của $m$ là: $left( – infty ;0 right)$

Bài 20. Tìm giá trị nhỏ nhất của tham số m để bất phương trình sau luôn đúng $mleft( + sqrt 1 – x^2  + 1 right) ge 2sqrt x^2 – x^4  + sqrt x^2  + sqrt 1 – x^2  + 2left( * right)$

Lời giải:

+ Điều kiện : $ – 1 le x le 1$

+ Đặt $t = left| x right| + sqrt 1 – x^2  > 0 Rightarrow t^2 = 1 + 2sqrt x^2 – x^4  ge 1 Rightarrow t ge 1$;

+ $t = left| x right| + sqrt 1 – x^2  le sqrt 2left( x^2 + 1 – x^2 right)  = sqrt 2  Rightarrow 1 le t le sqrt 2 $

BPT (*) $ Leftrightarrow mleft( t + 1 right) ge t^2 + t + 1 Leftrightarrow m ge fleft( t right) = fract^2 + t + 1t + 1$

BPT(*) có luôn có nghiệm khi và chỉ khi $m ge mathop max limits_t in left[ 1;sqrt 2 right] fleft( t right)$.

Ta có $f’left( t right) = fract^2 + 2tleft( t + 1 right)^2 > 0,forall t in left[ 1;sqrt 2 right] Rightarrow mathop max limits_t in left[ 1;sqrt 2 right] fleft( t right) = fleft( sqrt 2 right) = 2sqrt 2  – 1$

Vậy giá trị cần tìm của $m$ là: $m ge 2sqrt 2  – 1$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của tham số $m$ cần tìm là: $m = 2sqrt 2  – 1$.

Bài 21. Xác định giá trị tham số $m$ để hệ phương trình sau có nghiệm thực $left{ beginarraylleft( x + frac32 right)sqrt x^2 + 2x + 3  + left( x + frac12 right)sqrt x^2 + 1  + 2x + 2 ge 0left( 1 right)\log _m^2 + 1left( 3sqrt[3]x^2 + 1 right) le log _m^2 + 1left( m – 2x right)left( 2 right)endarray right.$

Lời giải:

Thay vào (1), ta được:

$left{ beginarraylu = sqrt x^2 + 1  > 0\v = sqrt x^2 + 2x + 3  > 0endarray right. Rightarrow left{ beginarraylu^2 = x^2 + 1\v^2 = x^2 + 2x + 3endarray right. Rightarrow x = fracv^2 – u^2 – 22$

Thay vào (1), ta được:

$left( v^2 – u^2 – 1 right)fracv2 + left( v^2 – u^2 – 1 right)fracu2 + v^2 – u^2 ge 0$

$ Leftrightarrow left( v – u right)left( u + v + 1 right)^2 ge 0 Leftrightarrow v – u Leftrightarrow x ge  – 1$

Điều kiện: $m^2 + 1 > 1 Leftrightarrow m ne 0$. Khi đó phương trình (2) tương đương với

$left[ beginarraylm ne 0\0 < 3sqrt[3]x^2 + 1 le m – 2xendarray right. Leftrightarrow m ge fleft( x right) = 3sqrt[3]x^2 + 2x + 1;x ge  – 1left( m ne 0 right)$

Vậy hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi (2) có nghiệm $x ge  – 1$, điều này tương đương với $m ge mathop min limits_x in left[ – 1; + infty right] fleft( x right)$.

Ta có: $f’left( x right) = 2 + frac2sqrt[3]x Rightarrow f’left( x right) = 0 Leftrightarrow x =  – 1$

Lập bảng biến thiên của hàm số $fleft( x right)$ ta suy ra $mathop min limits_x in left[ – 1; + infty right] fleft( x right) = fleft( 0 right) = 1 Rightarrow m ge 1$

Vậy giá trị cần tìm của $m$ là: $left( 1; + infty right)$.

Bài 22. Xác định giá trị tham số $m$ để hệ phương trình sau có nghiệm $left{ beginarraylx^2 – 3x – 4 le 0left( 1 right)\x^3 – 3left| x right|x – m^2 = 15m ge 0left( 2 right)endarray right.$

Lời giải:

Ta có (1) $ Leftrightarrow left( x + 1 right)left( x – 4 right) le 0 Leftrightarrow  – 1 le x le 4$.

(2) $ Leftrightarrow m^2 + 15m le fleft( x right) = x^3 – 3left| x right|x$.

Vậy hệ phương trình có nghệm khi và chỉ khi, bất phương trình(2) có nghiệm thuộc đoạn $left[ – 1;4 right]$, khi và chỉ khi $m^2 – 15m le mathop max limits_x in left[ – 1;4 right] fleft( x right)$.

Xét hàm số $fleft( x right) = x^3 – 3left| x right|x = left{ beginarraylx^3 + 3x^3left( – 1 le x < 0 right)\x^3 – 3x^3left( 0 le x le 4 right)endarray right.$.

Ta có $f’left( x right) = left{ beginarrayl3x^2 + 6xleft( – 1 le x < 0 right)\3x^2 – 6xleft( 0 le x le 4 right)endarray right. Rightarrow f’left( x right) = 0 Leftrightarrow x = 0;x =  pm 2$.

Từ đó suy ra: $mathop max limits_x in left[ – 1;4 right] fleft( x right) = fleft( 4 right) = 16$.

Vậy hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $m^2 + 15m le 16 Leftrightarrow  – 16 le m le 1$.

Vậy $m subset left[ – 16,1 right]$ là giá trị cần tìm.

Bài 23. Tìm $m$để phương trình $mx^2 + 1 = cosx$ có đúng 1 nghiệm thuộc $left( 0;fracpi 2 right)$

Lời giải:

+Phương trình đã cho tương đương với

$m = fraccos x – 1x^2 = frac – 2sin ^2fracx2x^2 Leftrightarrow  – 2m = fracsin ^2fracx2{{left( fracx2 right)^2}} = {left( fracmathoprm sintnolimits t right)^2};t = fracx2 in left( 0;fracpi 4 right)$

Xét hàm số $fleft( t right) = {left( {fracmathoprm sintnolimits t} right)^2};t = fracx2 in left( 0;fracpi 4 right)$.

+Ta có $f’left( t right) = 2left( {frac{mathoprm sintnolimits }t} right)fractcos t – sin tt^2 = 2left( fracsin tt right)fraccos tleft( t – tan t right)t^2 > 0$, vì với $t in left( 0;fracpi 4 right)$ thì $sin tcos t > 0,tan t < t$

+Như vậy $fleft( t right)$ đồng biến trên đoạn $left( 0;fracpi 4 right)$ suy ra đế phương trình có nghiệm thì $fleft( 0 right) <  – 2m < fleft( fracpi 4 right) Leftrightarrow frac{ – 1}2 < m < frac – 4pi ^2$ là giá trị cần tìm.

Bài 24. Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phương trình

$left{ beginarrayl2x^2 + xy – y^2 = 1left( 1 right)\x^2 + xy + y^2 = mendarray right.$ có nghiệm

Lời giải:

Từ hai phương trình trong hệ ta suy ra

$m = fracx^2 + xy + y^22x^2 + xy – y^2left( * right)$

+ Nếu $y = 0 Rightarrow m = frac12$  và hệ có nghiệm $left( x;0 right),x in R$

+Nếu $y ne 0$ chia cả tử và mẫu của (*) cho $y$ và đặt $t – fracxy$, khi đó ta được $m = fract^2 + t + 12t^2 + t – 1left( ** right)$ . Từ(1) ta có: $2t^2 + t – 1 = frac1y^2 > 0 Rightarrow left( t > frac12 right) vee left( t <  – 1 right)$

Vậy hệ có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (**) có nghiệm $t in left( – infty ; – 1 right) cup left( frac12; + infty right)$

Xét hàm số $fleft( t right) = fract^2 + t + 12t^2 + t – 1$ trên khoảng $left( – infty ; – 1 right) cup left( frac12; + infty right)$

Ta có $f’left( t right) =  – fract^2 + 6t + 2{{{left( 2t^2 + t – 1 right)^2}}},f’left( t right) = 0 Leftrightarrow left[ beginarraylt =  – 3 – sqrt 7 \t =  – 3 + sqrt 7endarray right.$

Lập bảng biến thiên suy ra giá trị của $m$ là $m ge frac14 + 5sqrt 7 28 + 11sqrt 7 $

Bài 25. Tìm m để hệ phương trình

$left{ beginarraylx^3 – y^3 + 3y^2 – 3x – 2 = 0left( 1 right)\x^2 + sqrt 1 – x^2  – 3sqrt 2y – y^2  + m = 0left( 2 right)endarray right.$ có nghiệm thực.

Lời giải:

Điều kiện $left{ beginarrayl- 1 le x le 1\0 le y le 2endarray right.$

Đặt $t = x + 1 Rightarrow t in left[ 0;2 right]$, khi đó phương trình(1) trở thành

$t^3 – 3t^2 = y^3 – 3y^2left( * right)$, xét hàm số $yleft( u right) = u^3 – 3u^2$ trên đoạn $left[ 0;2 right]$, ta có $f’left( u right) = 3u^2 – 6u le 0,forall u in left[ 0;2 right]$, suy ra $fleft( u right)$ nghịch biến trên đoạn $left[ 0;2 right]$

Do đó phương trình (*) tương đương với $fleft( t right) = fleft( y right) Leftrightarrow t = y Leftrightarrow y = x + 1$ Khi đó $x^2 + sqrt 1 – x^2  – 3sqrt 2y – y^2  + m = 0 Leftrightarrow x^2 – 2sqrt 1 – x^2  + m = 0left( i right)$

Đặt $v = sqrt 1 – x^2  Rightarrow forall xleft[ 0;1 right] Rightarrow left( i right) Leftrightarrow v^2 + 2x – 1 = m$.

Xét hàm số $gleft( v right) = v^2 + 2v – 1$ liên tục trên đoạn $left[ 0;1 right]$, ta có $g’left( v right) = 2v + 2 > 0,forall v in left[ 0;1 right]$

Suy ra min $mathop min limits_v in left[ 0;1 right] gleft( v right) = gleft( 0 right) =  – 1;mathop maxlimits_v in left[ 0;1 right] gleft( v right) = gleft( 1 right) = 2$

Vậy hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $ – 1 < m < 2$ .

Bài 26. Tìm $m$ để hệ bất phương trình sau có nghiệm

$left{ beginarrayl5x^2 – 4xy + 2y^2 ge 3\7x^2 + 4xy + 2y^2 le frac2m – 12m + 5endarray right.$

Lời giải:

Hệ phương trình đã cho tương đương với:

$left{ beginarrayl- 5x^2 + 4xy – 2y^2 le  – 3\21x^2 + 12xy + 6y^2 le 3 – frac182m + 5endarray right.$

Cộng theo vế hai phương trình trong hệ trên ta suy ra:

$left( 4x + 2y right)^2 = 16x^2 + 16xy + 4y^2 le  – frac182m + 5$Suy ra để hệ có nghiệm thì cần $2m + 5 < 0 Leftrightarrow m <  – frac52$.

Bây giờ ta chứng minh với $m <  – frac52$ thì hệ có nghiệm.

Thật vậy, xét hệ phương trình sau:

$left{ beginarrayl- 5x^2 + 4xy – 2y^2 =  – 3\21x^2 + 12xy + 6y^2 = 3endarray right.left( * right) Leftrightarrow left{ beginarraylx =  pm frac17\y =  mp frac27endarray right.$, suy ra hệ này có nghiệm.

Giả sử$left( x_0,y_0 right)$ là nghiệm của hệ phương trình(*), khi đó ta có

$left{ beginarrayl5x_0^2 – 4x_0y_0 + 2y_0^2 = 3\21x_0^2 + 4x_0y_0 + 6y_0^2 = 3 < 3 – frac182m + 5endarray right.,m <  – frac52$

Suy ra$left( x_0,y_0 right)$ cũng là nghiệm của hệ đã cho.

Từ đó suy ra $m <  – frac52$ là những giá trị cần tìm.

Bài 27. Tìm $m$ để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:

$left{ beginarrayl3x^3 = y^3 – 2y^2 + my\3y^2 = x^3 – 2x^2 + mxendarray right.$

Lời giải:

(i). Điều kiện cần: Giả sử hệ phương trình có nghiệm $left( x_0,y_0 right)$, khi đó $left( x_0,y_0 right)$ cũng là nghiệm của hệ nên để hệ có nghiệm duy nhất thì trước hết $x_0 = y_0$.

Thay vào hệ ta được $x_0^3 – 5x_0^2 + mx_0 = 0 Leftrightarrow left[ beginarraylx_0 = 0\x_0^2 – 5x_0 + m = 0left( * right)endarray right.$

Hệ có nghiệm duy nhất thì (*) hoặc vô nghiệm hoặc có nghiệm kép $x = 0$, điều này tương đương với

$left[ beginarraylDelta  = 25 – 4m < 0\left{ beginarraylDelta  = 25 – 4m = 0 Leftrightarrow m > frac254\m = 0endarray right.endarray right.$

(ii). Điều kiện đủ: Với $m > frac254$, khi đó hệ phương trình tương đương với $left{ beginarrayl3x^3 = yleft( y^2 – 2y + m right) = yleft( {{left( y – 1 right)^2} + m – 1} right) ge 0\3y^2 = xleft( x^2 – 2x + m right) = xleft( left( x – 1 right)^2 + m – 1 right) ge 0endarray right. Rightarrow x,y ge 0$.

Cộng theo vế hai phương trình của hệ ta được: $beginarraylxleft( x^2 – 2x + m right) + yleft( y^2 – 2y + m right) = 0\Leftrightarrow xleft( {left( x – frac52 right)^2 + m – frac254} right) + yleft( {left( y – frac52 right)^2 + m – frac254} right) = 0 Leftrightarrow x = y = 0endarray$

Kết luận vậy $m > frac254$ là những giá trị cần tìm.

Bài 28. Tìm $m$ để phương trình sau có nghiệm $left| x + 1 right| + left( 4 – m right)left| x – 1 right| = left( m – 1 right)sqrt x^2 – 1 $

Lời giải: Điều kiện: $left( x – 1 right)left( x + 1 right) ge 0$

Nhận thấy $x = 1$ không là nghiệm của phương trình, khi đó chia hai vế của phương trình cho $left| x – 1 right|$ và có $fracleftleft = fracx + 1x – 1$, ta được $fracx + 1x – 1 + 4 – m = left( m – 1 right)sqrt fracx + 1x – 1  Leftrightarrow m = fract^2 + t + 41 + t$, với $t = sqrt {frac{x + 1}x – 1} $

Ta có $t ge 0$. Xét hàm số $fleft( t right) = fract^2 + t + 41 + t$ có $f’left( t right) = fract^2 + 2t – 3{{{left( t + 1 right)^2}}} ne 0,t in left[ 0; + infty right);t ne 1$

Từ đó suy ra $fleft( t right) > fleft( 1 right) = 3;mathop lim limits_x to  + infty fleft( t right) =  + infty $

Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $m > 3$

Bài 29. Tìm $m$ để phương trình sau có nghiệm $sqrt x^4 + 8x  = left( m – 2 right)x^2 – 2left( m + 2 right)x + 4m$

Lời giải: Phương trình tương đương với $sqrt x^5 + 8x  + 2x^2 + 4x = mleft( x^2 – 2x + 4 right) Leftrightarrow m = fracsqrt x^5 + 8x  + 2x^2 + 4xx^2 – 2x + 4 = sqrt fracx^2 + 2xx^2 – 2x + 4  + 2fracx^2 + 2xx^2 – 2x + 4$

Do đó ta đặt

$t = fracx^2 + 2xx^2 – 2x + 4$; khi đó $m = sqrt t  + 2t$

Trước hết ta tìm tập giá trị của $t$, ta có$t’left( x right) = frac – 4left( x^2 – 2x – 2 right){{{{left( x^2 – 2x + 4 right)}^2}}} = 0 Leftrightarrow left[ beginarraylx = 1 + sqrt 3 \x = 1 – sqrt 3endarray right.$

Từ đó suy ra $t in left[ 1 – frac2sqrt 3 3,1 + frac2sqrt 3 3 right]$

Vậy ta xét hàm số $fleft( t right) = 2t + sqrt t $ đồng biến trên $left[ 1 – frac2sqrt 3 3,1 + frac2sqrt 3 3 right]$

Giá trị cần tìm của tham số $m$ thỏa mãn $m in left[ {2left( 1 – frac2sqrt 3 3 right) + sqrt 1 – frac2sqrt 3 3 ;2left( 1 – frac2sqrt 3 3 right) + sqrt {1 – frac{2sqrt 3 }3} } right]$

Bài 30. Tìm $m$ để phương trình sau có nghiệm duy nhất trong đoạn $left[ – frac12;1 right]$

$3sqrt 1 – x^2  = 2sqrt x^3 + 2x^2 + 1  = m$

Lời giải: Xét hàm số $fleft( x right) = 3sqrt 1 – x^2  = 2sqrt x^3 + 2x^2 + 1 $ trên đoạn $left[ – frac12;1 right]$

Ta có $f’left( x right) = frac – 3xsqrt 1 – x^2 – frac3x^2 + 4xsqrt x^3 + 2x^2 + 1 =  – xleft[ {frac 3sqrt 1 – x^2 – frac3x + 4sqrt x^3 + 2x^2 + 1 } right]$

Do $x in left[ – frac12;1 right] Rightarrow 3x + 4 > 0 Leftrightarrow frac3{sqrt 1 – x^2 } – frac3x + 4{sqrt x^3 + 2x^2 + 1 } > 0$

Vậy $f’left( x right) = 0 Leftrightarrow x = 0$

Ta có bảng biến thiên của hàm số $fleft( x right)$ trên đoạn $left[ – frac12;1 right]$

Dựa vào bảng biến thiên suy ra để phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi $left[ beginarraylm = 1\- 3 le m < frac – sqrt 22  + 3sqrt 3 2endarray right.$

Bài 31. Tìm $m$ để hệ sau có nghiệm $left{ beginarrayllog _2left( x + y right) + log _3left( xy + 2 right) = 2\x^3 + y^3 – xy = mendarray right.$

Lời giải:

Đặt $a = log_2left( x + y right);b = log _3left( xy + 2 right)$ khi đó ta có $a + b = 2$

Lại có $left( x + y right)^2 ge 4xy Rightarrow left( 2^a right)^2 ge 4left( 3^b – 2 right) = 4left( 3^2 – a – 2 right) Leftrightarrow 12^a + 8.3^a – 36 ge 0$

Xét hàm số $fleft( a right) = 12^a + 8.3^a – 36$ đồng biến; lại có $fleft( 1 right) = 0$ vậy $a ge 0$

Biến đổi phương trình thứ hai của hệ: $m = left( x + y right)^3 – 3xyleft( x + y right) – xy = left( 2^a right)^3 – 3left( 3^2 – a – 2 right).2^a – left( 3^2 – a – 2 right)$

Xét hàm số $fleft( a right) = left( 2^a right)^3 – 3left( 3^2 – a – 2 right).2^a – left( 3^2 – a – 2 right)$ trên $[1, + infty )$

Ta có $f’left( a right) = 8^aln 8 + 6.2^aln 2 – 27left( frac23 right)^aln frac23 – 9left( frac13 right)^a.ln frac13 > 0$  với mọi $a$

Suy ra $fleft( a right) ge fleft( 1 right) = 1$

Vậy giá trị cần tìm của $m$ là $m ge 1$

Bài 32. Tìm $m$ để hệ sau có nghiệm $left{ beginarraylx^2 – xy + 2y^2 – x le m\x^2 – 2xy + 2x^2 le m – 2endarray right.$

Lời giải: Hệ bất phương trình tương đương với $left{ beginarraylx^2 – xy + 2y^2 – x le m\x^2 – 2xy + 2x^2 le m – 2\2left( x^2 – xy + 2y^2 – x right) + left( x^2 – 2xy + 2x^2 right) le 3mendarray right. Leftrightarrow left{ beginarraylx^2 – xy + 2y^2 – x le m\x^2 – 2xy + 2x^2 + 2 le m\2left( x – 2y right)^2 + left( x – 1 right)^2 le 3mendarray right.$

Suy ra để hệ có nghiệm thì trước tiên $3m ge 0 Rightarrow m ge 0$

Ngược lại với $m ge 0$; thì hệ luôn có nghiệm 1$left( 1;frac12 right)$. Vậy $m ge 0$ là giá trị cần tìm.

Bài 33. Tìm $m$ để hệ phương trình $left{ beginarrayl2sqrt xy – y  + x + y = 5\sqrt 5 – x  + sqrt 2 – y  = mendarray right.$ có nghiệm

Lời giải:

Điều kiện: $left{ beginarraylyleft( x – 1 right) ge 0\x le 5\y le 1endarray right.$

Khi đó phương trình thứ nhất của hệ biến đổi thành: $y + 2sqrt yleft( x – 1 right)  + left( x – 1 right) = 4left( 1 right)$

Nếu $x < 1;y < 0$ thì ta có (1) tương đương với

$ – left( sqrt 1 – x  + sqrt – y right)^2 = 4$ vô nghiệm, nên hệ vô nghiệm Vậy $1 le x le 5;0 le y le 1$ và (1) tương đương với

$ – left( sqrt 1 – x  + sqrt – y right)^2 = 4 Leftrightarrow sqrt 1 – x  + sqrt – y  = 4$, đặt $t = sqrt y  in left[ 0;1 right] Rightarrow x = t^2 – 4t + 5$

Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được $m = sqrt 4t – t^2  + sqrt 1 – t^2 left( * right)$

Xét hàm số $fleft( t right) = sqrt 4t – t^2  + sqrt 1 – t^2 $ liên tục trên đoạn $[0;1]$

Ta có $f’left( t right) = frac2 – t{sqrt 4t – t^2 } – fract{sqrt 1 – t^2 } = 0 Leftrightarrow left( 2 – t right)sqrt 1 – t^2  = tsqrt 4t – t^2 $

Ta có $ Leftrightarrow 3t^2 + 4t – 4 = 0 Leftrightarrow t = frac23 in left[ 0;2 right]$

Vậy để hệ có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm, tương đương với $m$ thuộc tập giá trị của hàm số $fleft( t right)$ trên đoạn $[0;1]$ từ đó suy ra $m in left[ fracsqrt 5 3;sqrt 3 right]$ là giá trị cần tìm.

Bài 34. Tìm giá trị lớn nhất của tham số $m$ để hệ phương trình sau đây có nghiệm $left{ beginarraylx^2 + y^2 = 1\left| x + y right| + left| x^3 – y^3 right| = m^3endarray right.$

Lời giải:

Ta có $left| x + y right| + left| x^3 – y^3 right| = left| x + y right|left( 1 + x^2 + xy + y^2 right) = left| x – y right|left( 2 + xy right)$

Suy ra $m^6 = left( x – y right)^2left( 2 + xy right)^2 = left( 1 – 2xy right)left( 2 + xy right)left( 2 + xy right)$ nhưng do $xy le frac12left( x^2 + y^2 right) = frac12$ nên theo bất đẳng thức cô sic ho 3 số không âm ta được:

$m^6 = left( 1 – 2xy right)left( 2 + xy right)left( 2 + xy right) le left( frac1 – 2xy + 2 + xy + x + xy3 right)^3 = left( frac53 right)^3 Rightarrow m le sqrt frac53 $

Ngược lại, với $m = sqrt frac53 $ thì dấu bằng của bất đẳng thức xảy ra khi đó $xy =  – frac13;x^2 + y^2 = 1$ rõ ràng hệ này có nghiệm.

Vậy giá trị cần tìm của $m$ là $sqrt frac53 $.

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

1.1. Tìm $m$ để phương trình sau có nghiệm thực:

$sqrt[4]x^2 + 1 – sqrt x  = m$

1.2. Tìm tham số $m$ để phương trình sau có đúng một nghiệm:

$sqrt[4]{x^4 – 13x + m} + x – 1 = 0$

1.3. Xác định $m$ để phương trình sau có nghiệm:

$mleft( sqrt 1 + x^2  + sqrt 1 – x^2  + 2 right) = 2sqrt 1 – x^4  + sqrt 1 + x^2  – sqrt 1 – x^2 $

Bạn thấy bài viết thế nào?