Chia sẻ Hệ phương trình đối xứng loại 1

Bình luận Hệ phương trình đối xứng loại 1 là ý tưởng trong nội dung bây giờ của Emerald City Convergence. Theo dõi bài viết để biết chi tiết nhé.

Bài viết giúp bạn nhận diện được hệ phương trình đối xứng loại 1 và cách giải nhanh nhất. Đây là loại hệ phương trình khá phổ biến trong chương trình toán THCS, lên đến bậc THPT các em vẫn thường gặp với vai trò là các bài toán nhỏ trong một bài toán lớn. Cùng Verbalearn theo dõi để đưa ra phương pháp giải nhanh chóng nhất.

Lý thuyết hệ phương trình đối xứng loại 1

Nội dung chủ đề này tôi đề cập đến phương pháp chung giải hệ phương trình đối xứng loại I và một số hệ đưa được về hệ đối xứng loại I thông qua các phép đặt ẩn phụ cơ bản. Ngoài ra đề cập ứng dụng của hệ đối xứng loại I trong giải phương trình vô tỷ và chứng minh bất đẳng thức.

1. Phương pháp giải

Đa thức đối xứng: Xét đa thức hai biến $x,y$ là $Pleft( x;y right)$

Nếu $Pleft( x;y right) = Pleft( y;x right)$ với mọi $x,y in R$ thì ta nói $Pleft( x;y right)$ là đa thức đối xứng.

Hệ phương trình đối xứng loại I là hệ phương trình có dạng: $left{ beginarraylFleft( x;y right) = 0\Gleft( x;y right) = 0endarray right.$

Trong đó: $Fleft( x;y right);Gleft( x;y right)$ là các đa thức đối xứng với $x,y$.

– Hệ đối xứng loại I là hệ mà vai trò của $x,y$ trong mỗi phương trình của hệ là như nhau.

– Nếu $left( x_0,y_0 right)$ là nghiệm của hệ thì $left( y_0,x_0 right)$ cũng là nghiệm của hệ.

Ví dụ 1. Hệ phương trình $left{ beginarraylx^2 + y^2 = xy + x + y\xy = x + y – 1endarray right.$

Với hệ này đổi vay trò của $x,y$ thì hệ không thay đổi.

2. Phương pháp chung

Đặt $left{ beginarraylS = x + y\P = xyendarray right.$ với điều kiện $S^2 ge 4P$ tìm được $S,P$

Khi đó theo định lý Vi-ét $x,y$ là hai nghiệm của phương trình: $t^2 – St + P = 0$.

Lưu ý: Một số trường hợp ta phải đặt $S = x – y,P = xy$ và lúc này ta phải có $S^2 ge – 4P$ thực chất là hệ được suy ra từ hệ đối xứng loại 1 khi thay $y$ bởi $ – y$. Một số bài toán đơn giản mà khi biến đổi $S,P$ chỉ có dạng bậc nhất hoặc dạng bậc hai ta có thể không cần đặt ẩn phụ và cứ thế tiến hành biến đổi tương đương. Khi tìm được $S,P$ việc tìm $x,y$ không cần chi tiết mà chỉ ra chỉ ra nghiệm $left( x;y right)$ bằng bao nhiêu.

Một số hằng đẳng thức hay được sử dụng:

$x^2 + y^2 = left( x + y right)^2 – 2xy = S^2 – 2P$

$x^2 – xy + y^2 = left( x + y right)^2 – 3xy = S^2 – 3P$

$x^2 + xy + y^2 = left( x + y right)^2 – xy = S^2 – P$

$x^3 + y^3 = left( x + y right)left[ left( x + y right)^2 – 3xy right] = Sleft( S^2 – 3P right)$

$x^4 + y^4 = left[ left( x + y right)^2 – 2xy right]^2 – 2x^2y^2 = left( S^2 – 2P right)^2 – 2P^2$

$x^4 + y^4 + x^2y^2 = left( x^2 + y^2 – xy right)left( x^2 + y^2 + xy right) = left( S^2 – 2P right)^2 – P^2$

$frac1x + frac1y = fracx + yxy = fracSP$

$frac1x^2 + frac1y^2 = fracx^2 + y^2x^2y^2 = fracS^2 – 2PP^2$

Đặc điểm của dạng toán này là đôi khi số nghiệm của hệ thì chỉ có nghiệm duy nhất hoặc có số nhiệm chẵn và đôi khi rất nhiều nghiệm có khi đến 8 hoặc 16 nghiệm.

Bài tập mẫu về hệ phương trình đối xứng loại 1

Bài 1. Giải hệ phương trình $left{ beginarraylx^2 + y^2 + x + y = 4\xleft( x + y + 1 right) + yleft( y + 1 right) = 2endarray right.$

Lời giải

Hệ phương trình đã cho tương đương với:

$left{ beginarraylx^2 + y^2 + x + y = 4\x^2 + y^2 + x + y + xy = 2endarray right. Leftrightarrow left{ beginarraylx^2 + y^2 + x + y = 4\xy = – 2endarray right.$

$ Leftrightarrow left{ beginarraylleft( x + y right)^2 – 2xy + x + y = 4\xy = – 2endarray right. Leftrightarrow left{ beginarraylleft( x + y right)^2 + x + y = 0\xy = – 2endarray right.$

$ Leftrightarrow left[ beginarraylleft{ beginarraylx + y = 0\xy = – 2endarray right.\left{ beginarraylx + y = – 1\xy = – 2endarray right.endarray right. Leftrightarrow left{ beginarraylx = sqrt 2 \y = – sqrt 2 endarray right. vee left{ beginarraylx = – sqrt 2 \y = sqrt 2 endarray right. vee left{ beginarraylx = 1\y = – 2endarray right. vee left{ beginarraylx = – 2\y = 1endarray right.$

Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm là: $left( x;y right) = left( sqrt 2 ; – sqrt 2 right);left( – sqrt 2 ;sqrt 2 right);left( 1; – 2 right);left( – 2;1 right)$

Bài 2. Giải hệ phương trình $left{ beginarraylx + y + 2xy = 2\x^3 + y^3 = 8endarray right.$

Lời giải

Đặt $left{ beginarraylS = x + y\P = xyendarray right.,left( S^2 ge 4P right)$. Khi đó hệ phương trình trở thành:

$left{ beginarraylS + 2P = 2\Sleft( S^2 – 3P right) = 8endarray right. Leftrightarrow left{ beginarraylP = frac2 – S2\Sleft( S^2 – frac6 – 3S2 right) = 8endarray right. Leftrightarrow left{ beginarrayl2S^3 + 3S^2 – 6S – 16 = 0\P = frac2 – S2endarray right.$

$ Leftrightarrow left{ beginarraylleft( S – 2 right)left( 2S^2 + 7S + 8 right) = 0\P = frac2 – S2endarray right. Leftrightarrow left{ beginarraylS = 2\P = 0endarray right. Leftrightarrow left{ beginarraylx + y = 2\xy = 0endarray right. Leftrightarrow left[ beginarraylleft{ beginarraylx = 2\y = 0endarray right.\left{ beginarraylx = 0\y = 2endarray right.endarray right.$

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là: $left( x;y right) = left( 2;0 right);left( 0;2 right)$

Bài 3. Giải hệ phương trình $left{ beginarraylx^3 + y^3 = 19\left( x + y right)left( 8 + xy right) = 2endarray right.$

Lời giải

Đặt $left{ beginarraylS = x + y\P = xyendarray right.,left( S^2 ge 4P right)$. Khi đó hệ phương trình trở thành:

$left{ beginarraylSleft( S^2 – 3P right) = 19\Sleft( 8 + P right) = 2endarray right. Leftrightarrow left{ beginarraylS^3 – 3left( 2 – 8S right) = 19\SP = 2 – 8Sendarray right. Leftrightarrow left{ beginarraylS^3 + 24S – 25 = 0\P = frac2 – 8SSendarray right.$

$ Leftrightarrow left{ beginarraylleft( S – 1 right)left( S^2 + S + 25 right) = 0\P = frac2 – 8SSendarray right. Leftrightarrow left{ beginarraylS = 1\P = – 6endarray right. Leftrightarrow left{ beginarraylx + y = 1\xy = – 6endarray right.$

$ Leftrightarrow left{ beginarraylx = 3\y = – 2endarray right. vee left{ beginarraylx = – 2\y = 3endarray right.$

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là: $left( x;y right) = left( 3; – 2 right);left( – 2;3 right)$

Bài 4. Giải hệ phương trình $left{ beginarrayl2left( x + y right) = 3left( sqrt[3]x^2y + sqrt[3]xy^2 right)\sqrt[3]x + sqrt[3]y = 6endarray right.$

Lời giải

Đặt $sqrt[3]x = a,sqrt[3]y = b$. Khi đó hệ phương trình trở thành: $left{ beginarrayl2left( a^3 + b^3 right) = 3left( a^2b + b^2a right)\a + b = 6endarray right.$

Đặt $left{ beginarraylS = a + b\P = abendarray right.,left( S^2 ge 4P right)$. Khi đó hệ phương trình trở thành:

$left{ beginarrayl2Sleft( S^2 – 3P right) = 3SP\S = 6endarray right. Leftrightarrow left{ beginarraylS = 6\P = 8endarray right. Leftrightarrow left{ beginarrayla + b = 6\ab = 8endarray right.$

$ Leftrightarrow left{ beginarrayla = 4\b = 2endarray right. vee left{ beginarrayla = 2\b = 4endarray right. Leftrightarrow left{ beginarraylx = 64\y = 8endarray right. vee left{ beginarraylx = 8\y = 64endarray right.$

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là: $left( x;y right) = left( 64;8 right);left( 8;64 right)$

Bài 5. Giải hệ phương trình $left{ beginarraylsqrt x^2 + y^2 + sqrt 2xy = 8sqrt 2 \sqrt x + sqrt y = 4endarray right.$

Lời giải

Cách 1: Bình phương hai vế phương trình hai của hệ và rút $x + y$ theo $xy$ thế vào phương trình đầu của hệ.

Điều kiện $x ge 0,y ge 0$

Khi đó hệ phương trình đã cho tương đương với:

$left{ beginarraylsqrt {{left[ left( sqrt x + sqrt y right)^2 – 2sqrt xy right]^2} – 2xy} + sqrt 2xy = 8sqrt 2 \sqrt x + sqrt y = 4endarray right.$

$ Leftrightarrow left{ beginarraylsqrt {left[ 16 – 2sqrt xy right]^2 – 2xy} + sqrt 2xy = 8sqrt 2 \sqrt x + sqrt y = 4endarray right.$

$ Leftrightarrow left{ beginarraylsqrt 2xy – 64sqrt xy + 256 + sqrt 2xy = 8sqrt 2 \sqrt x + sqrt y = 4endarray right. Leftrightarrow left{ beginarraylsqrt xy – 32sqrt xy + 128 = 8 – sqrt xy \sqrt x + sqrt y = 4endarray right.$

$ Leftrightarrow left{ beginarraylxy – 32sqrt xy + 128 = 64 – 16sqrt xy + xy\sqrt xy le 8\sqrt x + sqrt y = 4endarray right. Leftrightarrow left{ beginarraylx + y = 8\xy = 16endarray right. Leftrightarrow x = y = 4$

Vậy hệ có nghiệm duy nhất $left( x;y right) = left( 4;4 right).$

Cách 2: Từ hai phương trình của hệ ta có

$sqrt 2left( x^2 + y^2 right) + 2sqrt xy = left( sqrt x + sqrt y right)^2$

$ Leftrightarrow sqrt 2left( x^2 + y^2 right) = x + y Leftrightarrow 2left( x^2 + y^2 right) = x^2 + 2xy + y^2$

$ Leftrightarrow left( x – y right)^2 = 0 Leftrightarrow x = y$

Thay $x = y$ vào phương trình thứ hai của hệ ta có kết quả tương tự.

Bài 6. Giải hệ phương trình $left{ beginarraylx^4 + y^4 + 6x^2y^2 = 41\xyleft( x^2 + y^2 right) = 10endarray right.$

Lời giải

Cách 1: Từ phương trình thứ hai của hệ suy ra $xy > 0$

Khi đó hệ phương trình đã cho tương đương với:

$left{ beginarraylleft( x^2 + y^2 right)^2 + 4x^2y^2 = 41\xyleft( x^2 + y^2 right) = 10endarray right. Leftrightarrow left{ beginarraylfrac100x^2y^2 + 4x^2y^2 = 41\xyleft( x^2 + y^2 right) = 10endarray right. Leftrightarrow left{ beginarrayl4x^4y^4 – 41x^2y^2 + 100 = 0\xyleft[ left( x – y right)^2 – 2xy right] = 10endarray right.$

$ Leftrightarrow left{ begingatheredleft[ begingatheredxy = 2 hfill \xy = frac52 hfill \ endgathered right. hfill \xyleft[ left( x + y right)^2 – 2xy right] = 10 hfill \ endgathered right. Leftrightarrow left[ begingatheredleft{ begingatheredx + y = pm 3 hfill \xy = 2 hfill \ endgathered right. hfill \left{ begingatheredx + y = pm 3 hfill \xy = frac52 hfill \ endgathered right. hfill \ endgathered right.$

Với $left{ begingatheredx + y = pm 3 hfill \xy = 2 hfill \ endgathered right. Leftrightarrow left[ begingatheredx = 1;y = 2 hfill \x = 2;y = 1 hfill \x = – 1;y = – 2 hfill \x = – 2;y = – 1 hfill \ endgathered right.$

Với $left{ begingatheredx + y = pm 3 hfill \xy = frac52 hfill \ endgathered right.$ trường hợp này không thỏa mãn $left( x + y right)^2 ge 4xy$ nên vô nghiệm.

Vậy hệ có bốn nghiệm là $left( x;y right) = left( 1;2 right);left( 2;1 right);left( – 1; – 2 right);left( – 2; – 1 right)$

Cách 2Nhận thấy hai phương trình của hệ vế trái đều cùng bậc 4.

Ta đưa về phương trình:

$x^4 + y^4 + 6x^2y^2 = frac4110xyleft( x^2 + y^2 right) Leftrightarrow left( 2x – y right)left( x – 2y right)left( x^2 – frac85xy + y^2 right) = 0$

Do $xy ne 0 Rightarrow x^2 – frac85xy + y^2 > 0$

Do đó hoặc $y = 2x$ hoặc $x = 2y$

Chỉ việc thế vào một trong hai phương trình của hệ ta tìm được $left( x;y right)$

Bài 7. Giải hệ phương trình $left{ begingatheredleft( x^2 + y^2 right)left( 1 + frac1x^2y^2 right) = 49 hfill \left( x + y right)left( 1 + frac1xy right) = 5 hfill \ endgathered right.$

Lời giải

Điều kiện $xy ne 0$

Hệ phương trình đã cho tương ứng với:

$left{ begingatheredx^2 + y^2 + frac1x^2 + frac1y^2 = 49 hfill \x + y + frac1x + frac1y = 5 hfill \ endgathered right. Leftrightarrow left{ begingatheredleft( x + frac1x right)^2 + left( y + frac1y right)^2 = 53 hfill \x + y + frac1x + frac1y = 5 hfill \ endgathered right.$

$ Leftrightarrow left{ begingatheredleft( x + frac1x + y + frac1y right)^2 – 2left( x + frac1x right)left( y + frac1y right) = 53 hfill \x + y + frac1x + frac1y = 5 hfill \ endgathered right. Leftrightarrow left{ begingatheredleft( x + frac1x right)left( y + frac1y right) = – 14 hfill \x + y + frac1x + frac1y = 5 hfill \ endgathered right.$

$ Leftrightarrow left[ begingatheredleft{ begingatheredx + frac1x = 7 hfill \y + frac1y = – 2 hfill \ endgathered right. hfill \left{ begingatheredx + frac1x = – 2 hfill \y + frac1y = 7 hfill \ endgathered right. hfill \ endgathered right. Leftrightarrow left[ begingatheredleft{ begingatheredx = – 1 hfill \y = frac7 pm 3sqrt 5 2 hfill \ endgathered right. hfill \left{ begingatheredx = frac7 pm 3sqrt 5 2 hfill \y = – 1 hfill \ endgathered right. hfill \ endgathered right.$

Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm là $left( x;y right) = left( – 1;frac7 pm 3sqrt 5 2 right);left( {frac7 pm 3sqrt 5 2; – 1} right)$

Bài 8. Giải hệ phương trình $left{ begingatheredleft( x + y right)left( 1 + xy right) = 18xy hfill \left( x^2 + y^2 right)left( 1 + x^2y^2 right) = 208x^2y^2 hfill \ endgathered right.$

Lời giải

Nhận xétHệ phương trình này tương tự bài toán trên khi khử đi $xy$ và $x^2y^2$ bên vế phải của hệ phương trình của hệ.

Nhận thấy $left( x;y right) = left( 0;0 right)$ là nghiệm của hệ phương trình

Xét với $xy ne 0$ khi đó hệ phương trình tương đương với:

$left{ begingatheredleft( x + y right)left( 1 + frac1xy right) = 18 hfill \left( x^2 + y^2 right)left( {1 + frac1{x^2y^2}} right) = 208 hfill \ endgathered right. Leftrightarrow left{ begingatheredx + y + frac1x + frac1y = 18 hfill \x^2 + y^2 + frac1x^2 + frac1y^2 = 208 hfill \ endgathered right.$

$ Leftrightarrow left{ begingatheredx + y + frac1x + frac1y = 18 hfill \left( x + frac1x right)^2 + left( y + frac1y right)^2 = 212 hfill \ endgathered right. Leftrightarrow left{ begingatheredx + y + frac1x + frac1y = 18 hfill \left( x + frac1x + y + frac1y right)^2 – 2left( x + frac1x right)left( y + frac1y right) = 212 hfill \ endgathered right.$

$ Leftrightarrow left{ begingatheredx + y + frac1x + frac1y = 18 hfill \left( x + frac1x right)left( y + frac1y right) = 56 hfill \ endgathered right. Leftrightarrow left[ begingatheredleft{ begingatheredx + frac1x = 14 hfill \y + frac1y = 4 hfill \ endgathered right. hfill \left{ begingatheredx + frac1x = 4 hfill \y + frac1y = 14 hfill \ endgathered right. hfill \ endgathered right. Leftrightarrow left[ begingatheredleft{ begingatheredx = 7 pm 4sqrt 3 hfill \y = 2 pm sqrt 3 hfill \ endgathered right. hfill \left{ begingatheredx = 2 pm sqrt 3 hfill \y = 7 pm 4sqrt 3 hfill \ endgathered right. hfill \ endgathered right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm là $left( x;y right) = left( 7 pm 4sqrt 3 ;2 pm sqrt 3 right);left( 2 pm sqrt 3 ;7 pm 4sqrt 3 right)$

Bài 9. Giải hệ phương trình (TSĐH Khối A 2006) $left{ begingatheredx + y – sqrt xy = 3 hfill \sqrt x + 1 + sqrt y + 1 = 4 hfill \ endgathered right.$

Lời giải

Điều kiện: $left{ beginarraylxy ge 0\x,y ge – 1endarray right.$

Đặt $beginarray*20c{left beginarraylS = x + y\P = xyendarray right.,&left( S^2 ge 4P right)endarray$. Khi đó hệ phương trình trở thành:

$beginarray*20cA^2 = B^2,&A^3 = B^3,&A^4 = B^4,endarray…left{ beginarraylfrac3yleft( x – 1 right)left( sqrt x^3 + 2 + 1 right)\y = x^2 + x + 1endarray right.left{ beginarrayl1 – y^2 = 4xy\4x^2 + y^4 – 4xy^3 = 1endarray right.$

$4sqrt x^2 + 1 – x^2 + y^3 – 3y – 2 ge 0$

$left{ beginarraylS – sqrt P = 3\S + 2 + 2sqrt S + P + 1 = 16endarray right. Leftrightarrow left{ beginarraylbeginarray*20cP = left( S – 3 right)^2,&S ge 3endarray\2sqrt S + left( S – 3 right)^2 + 1 = 14 – Sendarray right.$

$ Leftrightarrow left{ beginarraylbeginarray*20cP = left( S – 3 right)^2,&S ge 3endarray\2sqrt S^2 – 5S + 10 = 14 – Sendarray right. Leftrightarrow left{ beginarraylbeginarray*20cP = left( S – 3 right)^2,&S ge 3endarray\4left( S^2 – 5S + 10 right) = S^2 – 28S + 196endarray right.$

$ Leftrightarrow left{ beginarraylbeginarray*20cP = left( S – 3 right)^2,&S ge 3endarray\3S^2 + 8S – 156 = 0endarray right. Leftrightarrow left{ beginarraylS = 6\P = 9endarray right. Leftrightarrow left{ beginarraylx + y = 6\xy = 9endarray right. Leftrightarrow x = y = 3$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $left( x;y right) = left( 3;3 right)$

Bài 10. Giải hệ phương trình $left{ beginarraylsqrt x^2 – 1 + sqrt y^2 – 1 = sqrt xy + 2 \frac1x^2 + frac1y^2 = 1endarray right.$

Lời giải

Điều kiện: $beginarray*20c ge 1,&left&xy + 2 ge 0endarray$

Hệ phương trình đã cho tương đương với:

$left{ beginarraylx^2 – 1 + 2sqrt left( x^2 – 1 right)left( y^2 – 1 right) + y^2 – 1 = xy + 2\x^2 + y^2 = x^2y^2endarray right.$

$ Leftrightarrow left{ beginarraylx^2 + y^2 – xy – 4 + 2sqrt x^2y^2 – x^2 – y^2 + 1 = 0\x^2 + y^2 = x^2y^2endarray right.$

Đặt $beginarray*20cu = x^2 + y^2,&v = xy,&left( u ge 2,v ge – 2 right)endarray$ hệ phương trình trở thành:

$left{ beginarraylu – v – 4 + 2sqrt v^2 – u + 1 = 0\u = v^2endarray right. Leftrightarrow left[ beginarraylu = 1,v = – 1\u = 4,v = 2endarray right.$

Đối chiếu với điều kiện suy ra $left{ beginarraylu = 4\v = 2endarray right. Leftrightarrow left{ beginarraylx^2 + y^2 = 4\xy = 2endarray right. Leftrightarrow left[ beginarraylx = – sqrt 2 ;y = – sqrt 2 \x = sqrt 2 ;y = sqrt 2 endarray right.$

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là $left( x;y right) = left( – sqrt 2 ; – sqrt 2 right);left( sqrt 2 ;sqrt 2 right)$

Kết luận

Trên đây là một số cách giải hệ phương trình đối xứng loại 1 và các bài tập vận dụng tương ứng. Lý thuyết đa phần khá ngắn gọn, tuy nhiên để hiểu rõ và áp dụng vào bài tập thì bạn cần phải thực hiện càng nhiều càng tốt các bài tập mẫu mà chúng tôi đưa ra, điều này sẽ giúp bạn làm quen với hầu hết các biến thể có khả năng ra trong đề thi.

Bạn thấy bài viết thế nào?