Tổng hợp Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Nhận xét Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối là chủ đề trong content hôm nay của Emerald City Convergence. Theo dõi bài viết để biết đầy đủ nhé.

Dạng 1: Dựa vào đồ thị hàm số $left( C right):y = fleft( x right)$ suy ra đồ thị hàm số $left( C_1 right):y_1 = left| fleft( x right) right|$

Ta có: $left( C_1 right):y_1 = left| y right| = left{ beginarrayly,nếu,y ge 0\- y,nếu,y le 0endarray right.$

Do đó đồ thị $left( C_1 right):y_1 = left| fleft( x right) right|$ có 2 phần đồ thị :

+ Phần 1: là phần đồ thị $left( C right):y = fleft( x right)$ nằm phía trên $rmOx$

+ Phần 2: là phần đồ thị $left( C right):y = fleft( x right)$ nằm phía dưới $rmOx$ lấy đối xứng qua $rmOx$

Dạng 2 Dựa vào đồ thị hàm số $left( C right):y = fleft( x right)$ suy ra đồ thị hàm số $left( C_2 right):y_2 = fleft( right)$

Nhận xét : $left( C_2 right):y_2 = fleft( right)$ là hàm số chẵn

Nên $left( C_2 right):y_2 = fleft( right)$ nhận Oy làm trục đối xứng.

Ta có: $left( C_2 right):y_2 = fleft( right) = left{ beginarraylfleft( x right) = y,nếu,x ge 0left( 1 right)\fleft( – x right),nếu,x le 0endarray right.$

Do đó đồ thị $left( C_2 right):y_2 = fleft( left right)$ có 2 phần đồ thị :

+ Phần 1: là phần đồ thị $left( C right):y = fleft( x right)$ nằm phía bên phải $Oy$ (Do (1) ta có)

+ Phần 2: là phần đồ thị 1 lấy đối xứng qua $Oy$ vì hàm số chẵn

Dạng 3 Dựa vào đồ thị hàm số $left( C right):y = fleft( x right)$ suy ra đồ thị hàm số $left( C_3 right):left| y_3 right| = fleft( x right)$

Nhận xét : Nếu $Mleft( x_0;y_0 right) in left( C_0 right) Rightarrow Mleft( x_0, – y_0 right) in left( C_3 right)$

Nên $left( C_3 right):left| y_3 right| = fleft( x right)$ nhận $Ox$ làm trục đối xứng.

Ta có: $left( C_3 right):left| y_3 right| = fleft( x right) = y Rightarrow y_3 = y$ nếu $y ge 0$

Do đó đồ thị $left( C_3 right):left| y_3 right| = fleft( x right)$ có 2 phần đồ thị :

+ Phần 1: là phần đồ thị $left( C right):y = fleft( x right)$ nằm phía trên $Ox$

+ Phần 2: là phần đồ thị 1 lấy đối xứng qua $Ox$ .

Dạng 4 Dựa vào đồ thị hàm số $left( C right):y = fleft( x right) = uleft( x right).vleft( x right)$ ra đồ thị hàm số $left( C_4 right):y_4 = left| uleft( x right) right|.vleft( x right)$

Ta có: $left( C_4 right):y_4 = left| uleft( x right) right|.vleft( x right) = left{ beginarrayluleft( x right).vleft( x right) = fleft( x right) = y & neu,uleft( x right) ge 0\- uleft( x right).vleft( x right), =  – fleft( x right) =  – y & neu,uleft( x right) le 0endarray right.$

Do đó đồ thị $left( C_4 right):y_4 = left| uleft( x right) right|.vleft( x right)$ có 2 phần đồ thị :

+ Phần 1: là phần đồ thị $left( C right):y = fleft( x right)$ nằm trên miền $uleft( x right) ge 0$

+ Phần 2: là phần đồ thị $left( C right):y = fleft( x right)$ nằm trên miền $uleft( x right) le 0$ lấy đối xứng qua $Ox$

Ta hay gặp dạng đơn giản sau:

Dựa vào đồ thị hàm số $left( C right):y = fleft( x right) = left( x – a right).vleft( x right)$ suy ra đồ thị hàm số $left( C_4 right):y_4 = left| x – a right|.vleft( x right),a in rmR$

Ta có: $left( C_4 right):y_4 = left| x – a right|.vleft( x right) = left{ beginarraylleft( x – a right).vleft( x right) = fleft( x right) = y & neu,x ge a\- left( x – a right).vleft( x right), =  – fleft( x right) =  – y & neu,x le aendarray right.$

Do đó đồ thị $left( C_4 right):y_4 = left| x – a right|.vleft( x right),a in rmR$ có 2 phần đồ thị :

+ Phần 1: là phần đồ thị $left( C right):y = fleft( x right)$ nằm bên phải đường thẳng $x = a$

+ Phần 2: là phần đồ thị $left( C right):y = fleft( x right)$ nằm bên trái đường thẳng $x = a$ lấy đối xứng qua $Ox$.

TỔNG QUÁT

Từ 4 dạng đồ thị có chứa dấu giá trị tuyệt đối cơ bản trên ta có thể suy ra nhiều dạng đồ thị có chứa dấu giá trị tuyệt đối khác chẳng hạn:

Dạng 5 Dựa vào đồ thị hàm số $left( C right):y = fleft( x right)$ suy ra đồ thị hàm số $left( C_5 right):y_5 = left| fleft( left right) right|$

Để vẽ $left( C_5 right):y_5 = left| fleft( x right right) right|$ ta làm 2 bước như sau:

+ Bước 1: vẽ $y_51 = fleft( left right) = gleft( x right)$ dựa vào dạng 2

+ Bước 2: vẽ $y_5 = left| fleft( right) right| = left| gleft( x right) right|$ dựa vào dạng 1

Dạng 6 Dựa vào đồ thị hàm số $left( C right):y = fleft( x right)$ suy ra đồ thị hàm số $left( C_6 right):left| y_6 right| = fleft( right)$

Để vẽ $left( C_6 right):left| y_6 right| = fleft( right)$ ta làm 2 bước như sau:

+ Bước 1: vẽ $y_61 = fleft( x right right) = gleft( x right)$ dựa vào dạng 2

+ Bước 2: vẽ $left| y_6 right| = gleft( x right)$ dựa vào dạng 3

Dạng 7 Dựa vào đồ thị hàm số $left( C right):y = fleft( x right)$ suy ra đồ thị hàm số $left( C_7 right):left| y_7 right| = left| fleft( x right right) right|$

Để vẽ $left( C_7 right):left| y_7 right| = left| fleft( right) right|$ ta làm 3 bước như sau:

+ Bước 1: vẽ $y_71 = fleft( x right right) = gleft( x right)$ dựa vào dạng 2

+ Bước 2: vẽ $y_72 = left| fleft( left right) right| = left| gleft( x right) right| = hleft( x right)$ dựa vào dạng 1

+ Bước 3: vẽ $left( C_7 right):left| y_7 right| = hleft( x right)$ dựa vào dạng 3

MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1. Cho hàm số $y = 2x^3 – 3x^2 + 1$ có đồ thị $left( C right)$.

1) Khảo sát và vẽ đồ thị $left( C right)$ của hàm số.

2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $left( C right)$ tại giao điểm của $left( C right)$ với đường thẳng $x =  – 1$.

3) Tìm tham số $m$ để phương trình $2^3 – 3x^2 + 2 = m$ có bốn nghiệm phân biệt.

Giải

1) Khảo sát và vẽ đồ thị $left( C right)$ của hàm số.

TXĐ: $D = R$

$y’ = 6x^2 – 6x;y’ = 0 Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 1$

HSĐB trên khoảng $left( – infty ;0 right);left( 1; + infty right)$. HSNB trên khoảng $left( 0;1 right)$ Hàm số đạt cực đại tại $x = 0;y_CD = 1$; Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1;y_CT = 0$

$mathop lim limits_x to  pm infty y =  pm infty $

BBT

$y” = 12x – 6;y” = 0 Leftrightarrow x = 1/2$

2) Viết PTTT của đồ thị $left( C right)$ tại giao điểm của $left( C right)$ với đường thẳng $x =  – 1$

$x =  – 1 Rightarrow y = fleft( – 1 right) =  – 4 Rightarrow $ giao điểm $Mleft( – 1; – 4 right)$ pttt có dạng d$d:y = f’left( x_0 right).left( x – x_0 right) + y_0$.

$f’left( x_0 right) = f’left( – 1 right) = 12 Rightarrow $ pttt $d:y = 12left( x + 1 right) – 4 = 12x + 8$

3) Tìm tham số $m$ để phương trình $2^3 – 3x^2 + 2 = m$ có bốn nghiệm phân biệt.

Ta có: $2^3 – 3x^2 + 2 = m Leftrightarrow 2left – 3x^2 + 1 = m – 1$

Đây là PT HĐGĐ của đồ thị $left( C_1 right):y_1 = 2 x right – 3x^2 + 1$ và đường thẳng $d:y = m – 1$

Ta có $left( C_1 right):y_1 = left{ beginarrayl2x^3 – 3x^2 + 1 & neu,x ge 0\- 2x^3 – 3x^2 + 1 & neu,x < 0endarray right.$$ Rightarrow left( C_1 right)$ có 2 phần đồ thị:

Phần I : Đồ thị $left( C right)$ nằm bên phải trục $Oy$ (cả điểm nằm trên $Oy$)

Phần II : Lấy đối xứng đồ thị Phần $I$ qua $Oy$ vì hàm số $y_1$ là hàm số chẵn

Vẽ $left( C_1 right)$ ( Hình 2)

Dựa vào $left( C_1 right)$ ta có: $0 < m – 1 < 1 Leftrightarrow 1 < m < 2$

Ví dụ 2. Cho hàm số $y = frac12x^4 – 4x^2 + 3$ có đồ thị là $left( C right)$

a) Khảo sát và vẽ đồ thị $left( C right)$ của hàm số.

b) Định $m$ để phương trình : $frac12x^4 – 4x^2 + 3 = lg m$ có 4 nghiệm phân biệt.

c) Định $m$ để phương trình : $left| frac12x^4 – 4x^2 + 3 right| = lg m$ có 8 nghiệm phân biệt.

Giải

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

TXĐ: $D = R$.

Hàm số chẵn $y’ = 2x^3 – 8x;y’ = 0 Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x =  pm 2$

Giới hạn : $mathop lim limits_x to  pm infty y =  + infty $

BBT :

HSĐB trên khoảng $left( –2;0 right)$ và $left( 2; + infty right)$.

HSNB trên khoảng $left( – infty ;–2 right)$ và $left( 0;2 right)$

$y” = 6x^2 – 8;y” = 0 Leftrightarrow x =  pm 2sqrt 3 /3$

BXD $y”$

Đồ thị:

NX: đồ thị nhận $Oy$ làm trục đối xứng

ĐĐB: $Aleft( –3;15/2 right),Bleft( 3;15/2 right)$

b) Định $m$ để phương trình : $frac12x^4 – 4x^2 + 3 = lg m$ có 4 nghiệm phân biệt.

YCBT $ Leftrightarrow  – 5 < lg m < 3 Leftrightarrow lg 10^ – 5 < lg m < lg 10^ – 3 Leftrightarrow 10^ – 5 < m < 10^ – 3$

c) Định $m$ để phương trình : $left| frac12x^4 – 4x^2 + 3 right| = lg m$ có 8 nghiệm phân biệt.

Đây là PT HĐGĐ của đồ thị $frac12x^4 – 4x^2 + 3 = 0$ và đường thẳng $d:y = m – 1$

Ta có : $left( C_1 right):y_1 = left| y right| = left{ beginarrayly & neu,y ge 0\- y & neu,y le 0endarray right.$

Do đó đồ thị $left( C_1 right):y_1 = left| fleft( x right) right|$ có 2 phần đồ thị :

+ Phần 1: là phần đồ thị $left( C right):y = fleft( x right)$ nằm phía trên $Ox$

+ Phần 2: là phần đồ thị $left( C right):y = fleft( x right)$ nằm phía dưới $Ox$ lấy đối xứng qua $Ox$

YCBT $ Leftrightarrow 0 < lg m < 3 Leftrightarrow lg 1 < lg m < lg 10^ – 3 Leftrightarrow 1 < m < 1000$

Ví dụ 3. Vẽ đồ thị hàm số $left( C_1 right):y_1 = fracx^2left$

Ta vẽ đồ thị hàm số $left( C right):y = fracx^2x – 1$

Dựa vào (C) ta có: $left( C_1 right):y_1 = fracx^2left$ có 2 phần đồ thị :

+ Phần 1: là phần đồ thị $left( C right):y = fleft( x right)$ nằm bên phải đường thẳng $x = 1$

+ Phần 2: là phần đồ thị $left( C right):y = fleft( x right)$ nằm bên trái đường thẳng $x = 1$ lấy đối xứng qua $Ox$.

Ví dụ 4. Vẽ đồ thị hàm số $left( C_1 right):left| y_1 right| = fracx – 1x + 1$

Ta vẽ đồ thị hàm số $left( C right):y = fracx – 1x + 1$

Dựa vào $left( C right)$ ta có: $left( {C_1} right):left| y_1 right| = fracx – 1x + 1$ có 2 phần đồ thị :

+ Phần 1: là phần đồ thị $left( C right):y = fleft( x right)$ nằm phía trên $Ox$

+ Phần 2: là phần đồ thị 1 lấy đối xứng qua $Ox$.

Ví dụ 5. Vẽ đồ thị hàm số $left( C_5 right):y_5 = fracx^2 – 1$

Dựa vào đồ thị hàm số $left( C right):y = fracx^2x – 1$ ở ví dụ 3 ta có: $left( C_5 right):y_5 = fracx^2left$ có 2 phần đồ thị:

+ Phần 1: là phần đồ thị $left( C right):y = fleft( x right)$ nằm phía bên phải $Oy$

+ Phần 2: là phần đồ thị 1 lấy đối xứng qua $Oy$ vì hàm số chẵn

Ví dụ 6. Vẽ đồ thị hàm số $left( C_6 right):y_6 = left| fracx^2 – 1 right|$

Dựa vào đồ thị hàm số $left( C_5 right):y_5 = fracx^2 – 1$ ở ví dụ 5 ta có:

$left( C_6 right):y_6 = left| {fracx^2 – 1} right|$ có 2 phần đồ thị :

+ Phần 1: là phần đồ thị $left( C_5 right)$ nằm phía trên $Ox$

+ Phần 2: là phần đồ thị $left( C_5 right)$ nằm phía dưới $Ox$ lấy đối xứng qua $Ox$

Ví dụ 7. Vẽ đồ thị hàm số $left( C_7 right):left| y_7 right| = left| {fracx^2 – 1} right|$

Dựa vào đồ thị hàm số $left( C_6 right):y_6 = left| {frac{{{x^2}}}left} right|$ ở ví dụ 6 ta có:

$left( C_7 right):left| y_7 right| = left| {frac{{{x^2}}} – 1} right|$ có 2 phần đồ thị :

+ Phần 1: là phần đồ thị $left( C_6 right)$ nằm phía trên $Ox$

+ Phần 2: là phần đồ thị 1 lấy đối xứng qua $Ox$.

Bạn thấy bài viết thế nào?