Tổng hợp Hàm số liên tục – Lý thuyết & bài tập thường gặp

Phân tích Hàm số liên tục – Lý thuyết & bài tập thường gặp là conpect trong bài viết bây giờ của chúng tôi. Đọc bài viết để biết đầy đủ nhé.

Hàm số liên tục hay nói chi tiết là tính liên tục của hàm số – Một chuyên đề khá quan trọng trong chương trình toán  học. Chuyên đề này gắn liền với nhiều mảng kiến thức khác nhau đặc biệt là khảo sát hàm số, bất đẳng thức. Ở bài học này, VerbaLearn Math sẽ giúp bạn đọc tìm hiểu cặn kẽ các vấn đề của đề tài.

Tóm tắt lý thuyết hàm số liên tục

1) Hàm số liên tục tại một điểm

Hàm số liên tục: Giả sử hàm số $y = fleft( x right)$ xác định trên $left( a;b right)$ và $x_o in left( a;b right)$. Hàm số $fleft( x right)$ liên tục tại $x_0 Leftrightarrow mathop lim limits_x to x_0 fleft( x right) = fleft( x_o right)$

Hàm số không liên tục tại $x_0$ được gọi là gián đoạn tại $x_0$

2) Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn

Hàm số $y = fleft( x right)$ xác định trên khoảng $left( a;b right)$. $fleft( x right)$ liên tục trên khoảng $left( a;b right)$ khi và chỉ khi $fleft( x right)$ liên tục tại mọi điểm thuộc $left( a;b right)$.

Hàm số $y = fleft( x right)$ xác định trẽn khoảng $left[ a;b right]$. $fleft( x right)$ liên tục trên khoảng $left[ a;b right]$ khi và chỉ khi $fleft( x right)$liên tục trên khoảng $left( a;b right)$ và $mathop lim limits_x to a^ + fleft( x right) = fleft( a right),mathop lim limits_x to b^ – fleft( x right) = fleft( b right)$

Chú ý:

$ + , – ,*,/$ các hàm liên tục tại một điểm là hàm số liên tục tại điểm đó.

Hàm sơ cấp: đa thức, phân thức, lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.

3) Tính chất của hàm số liên tục

Định lí: Hàm số $fleft( x right)$ liên tục trên $left[ a;b right]$ và $fleft( a right) ne fleft( b right) Rightarrow forall M$ nằm giữa$fleft( a right),fleft( b right)$, $exists rmc in left( a;b right):fleft( c right) = M$

Hệ quả: Hàm số $fleft( x right)$ liên tục trên $left[ a;b right]$ và $fleft( a right).fleft( b right) < 0 Rightarrow exists rmc in left( a;b right):fleft( c right) = 0$

Nhận xét:

Dùng hệ quả để chứng minh phương trình $fleft( x right) = 0$ có ít nhất nghiệm trên $left( a;b right)$.

Đồ thị hàm số liên tục là đường liền nét.

Phương pháp giải toán về tính liên tục của hàm số

Sau khi nắm vững các khía cạnh kiến thức của chủ đề hàm số, tính liên tục của hàm số. Ở phần này chúng ta sẽ được làm quen với các dạng toán và bài tập mẫu của từng dạng. Từ đó rút ra phương pháp chung để giải các bài tập tương tự.

Dạng 1: xét tính liên tục của hàm số tại một điểm, khoảng, đoạn

Phương pháp 1:

Hàm số $y = fleft( x right)$ liên tục tại $x = x_0$ nếu $mathop lim limits_x to x_0 fleft( x right) = fleft( x_0 right)$

Phương pháp 2:

Hàm số $y = fleft( x right)$ liên tục tại $x = x_0$ nếu $mathop lim limits_x to x_0^ + fleft( x right) = mathop lim limits_x to x_0^ – fleft( x right)$

Sử dụng thêm các phương pháp khử dạng vô định đã học ở phần trước.

Bài tập mẫu 1: Xét tính liên tục của hàm số $fleft( x right) = left{ beginarraylfracx + 3x – 1 & ,x ne  – 1\2 & ,x =  – 1endarray right.$ trên tập xác định của hàm số.

Lời giải:

Xét hàm số $fleft( x right) = left{ beginarraylfracx + 3x – 1 & ,x ne  – 1\2 & ,x =  – 1endarray right.$

Tập xác định $D = Rbackslash left 1 right$

Với $x notin left – 1;1 right$ hàm số $fleft( x right) = fracx + 3x – 1$ xác định nên liên tục.

Xét tại $x = 1 notin D$ nên hàm số không liên tục tại $x = 1$

Xét tại $x = – 1$

$mathop lim limits_x to  – 2 fleft( x right) = mathop lim limits_x to  – 2 fracx + 3x – 1 =  – 1 ne fleft( – 1 right) = 2$

Nên hàm số không liên tục tại $x =  – 1$.

Bài tập mẫu 2: Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó:

$left( x right) = left{ beginarraylfracx^2 – 5x + 6x – 2 & khi,x > 3\2x + 1 & khi,x le 3endarray right.$

Hướng dẫn giải

Hàm số liên tục với mọi $x ne 3$.

Tại $x = 3$, ta có:

+ $fleft( x right) = 7$

+ $mathop lim limits_x to 3^ – fleft( x right) = mathop lim limits_x to 3^ – left( 2x + 1 right) = 7$

+ $mathop lim limits_x to 3^ + fleft( x right) = mathop lim limits_x to 3^ + fracleft( x – 2 right)left( x – 3 right)left( x – 3 right) = mathop lim limits_x to 3^ + left( x – 2 right) = 1$

$ Rightarrow $ Hàm số không liên tục tại $x = 3$.

Vậy hàm số liên tục trên các khoảng $left( – infty ;3 right),left( 3; + infty right)$.

Bài tập mẫu 3: Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó:

$fleft( x right) = left{ beginarraylfracx^2 + 3x + 2x + 2 & khi,x ne  – 2\3 & khi,x =  – 3endarray right.$

Hướng dẫn giải

Khi $x ne  – 2$ ta có $fleft( x right) = fracleft( x + 1 right)left( x + 2 right)x + 2 = x + 1$

Từ đây suy ra: $fleft( x right)$ liên tục tại $forall x ne  – 2$

Tại $x =  – 2$ ta có: $beginarraylfleft( – 2 right) = 3\fleft( x right) = fracleft( x + 1 right)left( x + 2 right)x + 2 = x + 1endarray$, lim $mathop lim limits_x to  – 2 fleft( x right) = mathop lim limits_x to  – 2 left( x + 1 right) =  – 1 Rightarrow fleft( – 2 right) ne mathop lim limits_x to  – 2 fleft( x right)$

Từ đây suy ra: $fleft( x right)$ không liên tục tại $x =  – 2$.

Vậy hàm số $fleft( x right)$ liên tục trên các khoảng $left( – infty ; – 2 right),left( – 2; + infty right)$.

Bài tập mẫu 4: Cho hàm số $fleft( x right) = left{ beginarraylfracx^2 – 2x – 2x – 2 & khi,x ne 2\m & khi,x = 2endarray right.$

a) Xét tính liên tục của hàm số khi $m = 3$

b) Với giá trị nào của m thì $fleft( x right)$ liên tục tại $x = 2$?

Hướng dẫn giải

Ta có tập xác định của hàm số là $D = R$

Khi $m = 3$ ta có:

$fleft( x right) = left{ beginarraylfracleft( x + 1 right)left( x – 2 right)x – 2 & khi,x ne 2\m & khi,x = 2endarray right. = left{ beginarraylx + 1 & ,khi,x ne 2\3 & ,khi,x = 2endarray right.$

Từ đây suy ra: $fleft( x right)$ liên tục tại mọi $x ne 2$.

Tại $m = 2$ ta có: $fleft( 2 right) = 3$; $mathop lim limits_x to 2 fleft( x right) = mathop lim limits_x to 2 left( x + 1 right) = 3 Rightarrow fleft( x right)$ liên tục tại $m = 2$.

Vậy với $m = 3$ hàm số liên tục trên tập xác định của nó.

Bài tập mẫu 5: Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó:

$fleft( x right) = left{ beginarraylfracx^2 + 3x + 2x + 2 & khi,x ne  – 2\3 & khi,x =  – 2endarray right.$

Hướng dẫn giải

Tập xác định: $D = R$.

Tại $x ne -2 Rightarrow fleft( x right) = fracleft( x + 1 right)left( x + 2 right)x + 2 = x + 1 Rightarrow fleft( x right)$ liên tục tại $x ne – 2$.

Tại $x = – 2$ ta có $fleft( – 2 right) = 3$, $mathop lim limits_x to – 2 fleft( x right) = mathop lim limits_x to  – 2 fleft( x right) = mathop lim limits_x to  – 2 left( x + 1 right) =  – 1 ne fleft( – 2 right)$

Từ đây suy ra: $fleft( x right)$ không liên tục tại $x =  – 2$.

Bài tập mẫu 6: Xét tính liên tục của hàm số

$fleft( x right) = left{ beginarraylfrac4 – x^2sqrt x + 2  – 2 & khi,x > 2\2x – 20 & khi,x le 2endarray right.$ tại điểm $x = 2$.

Hướng dẫn giải

Ta có: $fleft( 2 right) =  – 16$

Mặt khác:

$mathop lim limits_x to 2^ + fleft( x right) = mathop lim limits_x to 2^ + frac{left( 2 – x right)left( 2 + x right)left( sqrt x + 2  + 2 right)}2 – x = mathop lim limits_x to 2^ + left[ – left( x + 2 right)left( sqrt x + 2  + 2 right) right] =  – 16$

Vậy hàm số liên tục tại $x = 2$

Bài tập mẫu 7: xét tính liên tục của hàm số

$fleft( x right) = left{ beginarraylfrac2x^2 – 3x – 22x – 4 & khi,x ne 2\frac32 & khi,x = 2endarray right.$

Tại điểm $x = 2$

Hướng dẫn giải

Ta có: Tập xác định $D = R$.

Tính được $fleft( 2 right) = frac32$

Mặt khác: $mathop lim limits_x to 2 fleft( x right) = mathop lim limits_x to 2 frac2x^2 – 3x – 22x – 4 = mathop lim limits_x to 2 fracleft( x – 2 right)left( 2x + 1 right)2left( x – 2 right) = mathop lim limits_x to 2 frac2x + 12 = frac52$

Kết luận hàm số không liên tục tại $,x = 2$.

Bài tập mẫu 8: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm $x_0 = 1$

$fleft( x right) = left{ beginarraylfrac2x^2 – 3x + 12x – 2 & khi,x ne 1\2 & khi,x = 1endarray right.$

Hướng dẫn giải

Ta có: $fleft( 1 right) = 2$

Mặt khác: $mathop lim limits_x to 1 fleft( x right) = mathop lim limits_x to 1 frac2x^2 – 3x + 12left( x – 1 right) = mathop lim limits_x to 1 fracleft( x – 1 right)left( 2x – 1 right)2left( x – 1 right) = mathop lim limits_x to 1 frac2x + 12 = frac12$

Kết luận hàm số liên tục tại $x = 1$

Bài tập mẫu 9: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm $x_0 = 1$

$fleft( x right) = left{ beginarraylfrac3×8 – 2x – 1x – 1 & khi,x > 1\2x + 3 & khi,x le 1endarray right.$

Hướng dẫn giải

Ta có: $fleft( 1 right) = 5$ (1)

Mặt khác: $mathop lim limits_x to 1^ + fleft( x right) = mathop lim limits_x to 1^ + frac3×8 – 2x – 1x – 1 = mathop lim limits_x to 1^ + left( 3x + 1 right) = 4$ (2)

Hơn nữa: $mathop lim limits_x to 1^ – fleft( x right) = mathop lim limits_x to 1^ – left( 2x + 3 right) = 5$ (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra hàm số không liên tục tại $x = 1$

Bài tập mẫu 10: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm $x_0 = 2$:

$fleft( x right) = left{ beginarraylfrac2left( x – 2 right)x8 – 3x + 2 & khi,x ne 2\2 & khi,x = 2endarray right.$

Hướng dẫn giải

Ta co: $mathop lim limits_x to 2 fleft( x right) = mathop lim limits_x to 2 frac2left( x – 2 right)left( x – 1 right)left( x – 2 right) = mathop lim limits_x to 2 frac2x – 1 = 2$ (1)

$fleft( 2 right) = 2$ (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra $fleft( x right)$ liên tục tại $x = 2$

Bài tập mẫu 11: Xét tính liên tục của hàm số sau tại $fleft( x right) = left{ beginarraylfracx9 – x8 + 2x – 2x – 1 & khi,x ne 1\4 & khi,x = 1endarray right.$

Hướng dẫn giải

Ta có: $mathop lim limits_x to 1 fleft( x right) = mathop lim limits_x to 1 fracleft( x – 1 right)left( x^2 + 2 right)x – 1 = mathop lim limits_x to 1 left( x^2 + 2 right) = 3$

Mặt khác: $fleft( 1 right) = 4$

Từ đây suy ra: Hàm số không liên tục tại $x = 1$

Bài tập mẫu 12: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm $x_0 = 1$:

$fleft( x right) = left{ beginarraylx + 1 & khi,x le 1\frac1x8 – 3x & khi,x > 1endarray right.$

Hướng dẫn giải

Ta có: $mathop lim limits_x to 1^ – fleft( x right) = mathop lim limits_x to 1^ – left( x + 1 right) = fleft( 1 right) = 2$

Mặt khác: $mathop lim limits_x to 1^ + fleft( x right) = mathop lim limits_x to 1^ + frac1x^2 – 3x =  – frac12$

$fleft( x right)$ không liên tục tại $x = 1$

Bài tập mẫu 13: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm $x_0 = 2$:

$left( x right) = left{ beginarraylfrac1 – sqrt 2x – 3 2 – x & khi,x ne 2\1 & khi,x = 2endarray right.$

Hướng dẫn giải

Ta có : $mathop lim limits_x to 2 fleft( x right) = mathop lim limits_x to 2 frac2left( 2 – x right)left( 2 – x right)left( 1 + sqrt 2x – 3 right) = mathop lim limits_x to 2 frac21 + sqrt 2x – 3 = 1$

Mặt khác: $fleft( 2 right) = 1$

Vậy hàm số liên tục tại $x = 2$

Bài tập mẫu 14: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm $x_0 = 3$:

$fleft( x right) = left{ beginarraylfracx^2 – 5x + 6x – 3 & khi,x > 2\2x + 1 & khi,x le 2endarray right.$

Hướng dẫn giải

Ta có: $mathop lim limits_x to 3^ – fleft( x right) = mathop lim limits_x to 3^ – left( 2x + 1 right) = fleft( 3 right) = 7$

Mặt khác: $mathop lim limits_x to 3^ + fleft( x right) = mathop lim limits_x to 3^ + fracx^2 – 5x + 6x – 3 = mathop lim limits_x to 3^ + left( x – 2 right) = 1$

Từ đây suy ra:

Hàm số không liên tục tại $x = 3$, hay nói cách khác hàm số bi gián đoạn tại $x = 3$

Bài tập mẫu 15: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm $x_0 = 5$:

$fleft( x right) = left{ beginarraylfracx – 5sqrt 2x – 1  – 3 & khi,x ne 5\3 & khi,x = 5endarray right.$

Hướng dẫn giải

Ta có : $mathop lim limits_x to 5 fleft( x right) = mathop lim limits_x to 5 fracleft( x – 5 right)left( sqrt 2x – 1  – 3 right)2left( x – 5 right) = mathop lim limits_x to 5 fracsqrt 2x – 1  – 32 = 3$

Mặt khác: $fleft( 5 right) = 3 Rightarrow mathop lim limits_x to 5 fleft( x right) = fleft( x right)$

Từ đây suy ra: hàm số liên tục tại $x = 5$

Bài tập mẫu 16: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm $x = 3$

$fleft( x right) = left{ beginarraylfracx – 3x^2 – 9 & khi,x < 3\frac1sqrt 12 x & khi,x ge 3endarray right.$

Hướng dẫn giải

Ta có: $mathop lim limits_x to 3^ – fleft( x right) = mathop lim limits_x to 3^ – fracx – 3x^2 – 9 = mathop lim limits_x to 3^ – frac1x + 3 = frac16$

Mặt khác: $mathop lim limits_x to 3^ + fleft( x right) = mathop lim limits_x to 3^ + frac1sqrt 12x = frac16 = fleft( 3 right)$

Từ đây suy ra: $fleft( x right)$ liên tục tại $x = 3$

Dạng 2: Xác định tham số để hàm số lỉên tục trên khoảng, đoạn

Phương pháp 1

Hàm số $y = fleft( x right)$ liên tục tại $x = x_0$ nếu $mathop lim limits_x to x_0 fleft( x right) = fleft( x_0 right)$

Phương pháp 2

Hàm số $y = fleft( x right)$ liên tục tại $x = x_0$ nếu $mathop lim limits_x to x_0^ + fleft( x right) = mathop lim limits_x to x_0^ – fleft( x right)$

Sử dụng thêm các phương pháp khử dạng vô định đã học ở phần trước.

Bài tập mẫu 1: Cho hàm số $fleft( x right) = fleft( x right) = left beginarraylfracx^3 – 1x – 1 & khi,x ne 1\2m + 1 & khi,x = 1endarray right.$

Xác định $m$ để hàm số liên tục trên $K$.

Hướng dẫn giải

Khi $x ne 1$ ta có $fleft( x right) = fracx^3 – 1x – 1 = x^2 + x + 1$

Từ đây suy ra: $fleft( x right)$ liên tục $forall x ne 1$.

Khi $x = 1$, ta có:

$left. beginarraylfleft( 1 right) = 2x + 1\mathop lim limits_x to 1 fleft( x right) = mathop lim limits_x to 1 left( x^2 + x + 1 right) = 3endarray right Rightarrow fleft( x right)$ liên tục tại $x = 1$$ Leftrightarrow fleft( 1 right) = mathop lim limits_x to 1 fleft( x right) Leftrightarrow 2m + 1 = 3 Leftrightarrow m = 1$

Vậy: $fleft( x right)$ liên tục trên $R$ khi $m = 1$

Bài tập mẫu 2: Cho hàm số $fleft( x right) = left{ beginarraylfracsqrt[3]3x + 2 – 2x – 2 & khi,x > 2\ax + frac14 & khi,x le 2endarray right.$

Xác định $a$ để hàm số liên tục tại điểm $x = 2$.

Hướng dẫn giải

Ta có: $fleft( 2 right) = 2a + frac14$

Mặt khác: $left{ beginarraylmathop lim limits_x to 2^ – fleft( x right) = mathop lim limits_x to 2^ – left( ax + frac14 right) = 2x + frac14\mathop lim limits_x to 2^ + fleft( x right) = frac{sqrt[3]3x + 2 – 2}x – 2 = mathop lim limits_x to 2^ + frac3left( x – 2 right){{left( x – 2 right)left( {sqrt[3]{left( 3x – 2 right)^2} + 2sqrt[3]left( 3x – 2 right) + 4} right)}} = frac14endarray right.$

Từ đây suy ra: Hàm số liên tục tại $x = 2$

$fleft( 2 right) = mathop lim limits_x to 2^ – fleft( x right) Leftrightarrow mathop lim limits_x to 2^ +   Leftrightarrow 2a + frac14 = frac14 Leftrightarrow a = 0$

Bài tập mẫu 3: Cho hàm số: $fleft( x right) = left{ beginarraylfracsqrt x  – 1x – 1 & khi,x > 1\3ax & khi,x le 1endarray right.$

Xác định giá trị của tham số $a$ để hàm số liên tục tại điểm $x = 1$.

Hướng dẫn giải

Ta có: $fleft( 1 right) = 3a$

Mặt khác: $mathop lim limits_x to 1^ – fleft( x right) = mathop lim limits_x to 1^ – 3ax = 3a$

Lại có $mathop lim limits_x to 1^ + fleft( x right) = fracsqrt x  – 1x – 1 = mathop lim limits_x to 1^ + frac1sqrt x  + 1 = frac12$

Hàm số liên tục tại $x = 1$ $ Leftrightarrow fleft( 1 right) = mathop lim limits_x to 1^ – fleft( x right) Leftrightarrow mathop lim limits_x to 1^ + fleft( x right) Leftrightarrow 3a = frac12 Leftrightarrow a = frac16$

Bài tập mẫu 4: Cho hàm số $fleft( x right) = left{ beginarraylfrac2x + 12x^2 + 3x + 1 & khi,x ne  – frac12\A & khi,x =  – frac12endarray right.$

Xét tính liên tục của hàm số tại $x =  – frac12$

Hướng dẫn giải

Ta có biến đổi: $fleft( x right) = left{ beginarraylfrac2x + 12x^2 + 3x + 1 & khi,x ne  – frac12\A & khi,x =  – frac12endarray right. = left{ beginarraylfrac1x + 1 & khi,x ne  – frac12\A & khi,x =  – frac12endarray right.$

Tại $x =  – frac12$ ta có: $fleft( – frac12 right) = A$, $mathop lim limits_x to  – frac12 frac1x + 1 = 2$

Hàm số $fleft( x right)$ liên tục tại $x =  – frac12 Leftrightarrow fleft( – frac12 right) = mathop lim limits_x to  – frac12 frac1x + 1 Leftrightarrow A = 2$

Bài tập mẫu 5: Cho hàm số $fleft( x right) = left{ beginarraylx^2 + x & khi,x < 1\ax + 1 & khi,x ge 1endarray right.$

Hãy tìm $a$ để $fleft( x right)$ liên tục tại $x = 1$

Hướng dẫn giải

Ta có: $fleft( 1 right) = a + 1$

Mặt khác:

$left{ beginarraylmathop lim limits_x to 1^ – fleft( x right) = mathop lim limits_x to 1^ – left( x^2 + x right) = 2\mathop lim limits_x to 1^ + fleft( x right) = a + 1 = fleft( 1 right)endarray right.$

Hẩm số: $fleft( x right)$ liên tục tại $x = 1 Leftrightarrow mathop lim limits_x to 1^ – fleft( x right) = mathop lim limits_x to 1^ + fleft( x right) = fleft( 1 right) = a + 1 = 2 Leftrightarrow a = 1$

Bài tập mẫu 6: Tìm $a$ để hàm số liên tục tại $x = 1$.$fleft( x right) = left{ beginarraylfracx^3 – x^2 + 2x – 23x + a & khi,x ne 1\3x + a & khi,x = 1endarray right.$

Hướng dẫn giải

Ta có: $mathop lim limits_x to 1 fleft( x right) = mathop lim limits_x to 1 fracx^3 – x^2 + 2x – 23x + a = mathop lim limits_x to 1 fracleft( x – 1 right)left( x^2 + 2 right)3x + a$

Nếu $a =  – 3$ thì $mathop lim limits_x to 1 fleft( x right) =  = mathop lim limits_x to 1 fracleft( x – 1 right)left( x^2 + 2 right)3x + a = mathop lim limits_x to 1 fracx^2 + 23 = 1 > 0$ và $fleft( 1 right) = 0$

Nên hàm số không liên tục tại $x = 1$

Nếu $a ne  – 3$ thì $mathop lim limits_x to 1 fleft( x right) = mathop lim limits_x to 1 frac{{left( x – 1 right)left( x^2 + 2 right)}}3x + a = 0$, nhưng $fleft( 1 right) = 3 + a ne 0$

Nên hàm só không liên tục tại $x = 1$.

Vậy không có giá trị nào của $a$ để hàm số liên tục tại $x = 1$.

Bài tập mẫu 7: Tìm $m$ để hàm số sau liên tục tại $x = -1$.$fleft( x right) = left{ beginarraylfracx^2 – 1x + 1 & khi,x <  – 1\mx + 2 & khi,x ge  – 1endarray right.$

Hướng dẫn giải

Ta có: $fleft( – 1 right) =  – m + 2$

Mặt khác: $mathop lim limits_x to 1^ – fleft( x right) = mathop lim limits_x to 1^ – fracx^2 – 1x + 1 = mathop lim limits_x to 1^ – left( x – 1 right) =  – 2$

Lại có: $mathop lim limits_x to 1^ + fleft( x right) = mathop lim limits_x to 1^ + left( mx + 2 right) =  – m + 2$

Hàm số $fleft( x right)$ liên tục tại $x =  – 1 Leftrightarrow  – m + 2 =  – 2 Leftrightarrow m = 4$

Bài tập mẫu 8: Cho hàm số $fleft( x right) = left{ beginarraylx^2 + x & khi,x < 1\ax + 1 & khi,x ge 1endarray right.$

Hãy tìm $a$ để $fleft( x right)$ liên tục tại $x = 1$

Hướng dẫn giải

Ta có: $fleft( 1 right) = a + 1$

Mặt khác:

$left{ beginarraylmathop lim limits_x to 1^ – fleft( x right) = mathop lim limits_x to 1^ – left( x^2 + x right) = 2\mathop lim limits_x to 1^ + fleft( x right) = a + 1 = fleft( 1 right)endarray right.$

Hàm số $fleft( x right)$ liên tục tại $x = 1 Leftrightarrow mathop lim limits_x to 1^ – fleft( x right) = mathop lim limits_x to 1^ + fleft( x right) = fleft( 1 right) Leftrightarrow a + 1 = 2 Leftrightarrow a = 1$

Vậy khi $a = 1$ thì hàm số liên tục tại $x = 1$

Bài tập mẫu 9: Tìm giá trị của tham số $a$ để hàm số:

$fleft( x right) = left{ beginarrayl5x^2 – 6x + 7 & khi,x ge 2\ax^2 + 3a & khi,x < 2endarray right.$ liên tục tại $x = 2$.

Hướng dẫn giải

Ta có: $mathop lim limits_x to 2 fleft( x right) = 15 = fleft( 2 right)$

Mặt khác: $mathop lim limits_x to 2^ – fleft( x right) = mathop lim limits_x to 2^ – left( ax^2 + 3a right) = 7a$

Hàm số: $fleft( x right)$ liên tục tại $x = 2 Leftrightarrow 7a = 15 Leftrightarrow a = frac157$

Bài tập mẫu 10: Cho hàm số $fleft( x right) = left{ beginarraylfracx^2 – 25x – 5 & khi,x ne 5\A & khi,x = 5endarray right.$

Tìm A để hàm số đã cho liên tục tại $x = 5$.

Hướng dẫn giải

Ta có: $fleft( 5 right) = A$

Mặt khác: $mathop lim limits_x to 5 fleft( x right) = mathop {mathop lim limits_x to 5 fracx^2 – 25x – 5 = }limits_x to 5 mathop lim limits_x to 5 left( x + 5 right) = 10$

Hàm số liên tục tại $x = 5 Leftrightarrow mathop lim limits_x to 5 fleft( x right) = fleft( 5 right)$

Vậy với $x = 10$ thì hàm sô liên tục tại $x = 5$.

Bài tập mẫu 11: Cho hàm số $fleft( x right) = left{ beginarraylfracx^2 + 3x – 18x – 3 & khi,x ne 3\a + x & khi,x = 3endarray right.$. Tìm giá trị của tham số $a$ để hàm số liên tục tại $x = 3$.

Hướng dẫn giải

Ta có: $fleft( 3 right) = a + 3$

Mặt khác: $mathop lim limits_x to 3 fleft( x right) = mathop {mathop lim limits_x to 3 fracx^2 + 3x – 18x – 3 = }limits_x to 5 mathop lim limits_x to 3 frac{left( x – 3 right)left( x + 6 right)}x – 3 = mathop lim limits_x to 3 left( x + 6 right) = 9$

Hàm số $fleft( x right)$ liên tục tại $x = 3 Leftrightarrow a + 3 = 9 Leftrightarrow a = 6$

Bài tập mẫu 12: Tìm $m$ để hàm số sau liên tục tại điểm $x = 1$:

$fleft( x right) = left{ beginarraylfracx^2 – xx – 1 & khi,x ne 1\m & khi,x = 1endarray right.$

Hướng dẫn giải

Ta có: $fleft( 1 right) = m$

Mặt khác: $mathop lim limits_x to 1 fleft( x right) = mathop lim limits_x to 1 fracxleft( x – 1 right)x – 1 = mathop lim limits_x to 1 x = 1$

Hàm số $fleft( x right)$ liên tục tại $x = 1 Leftrightarrow mathop lim limits_x to 1 fleft( x right) = fleft( 1 right) Leftrightarrow m = 1$

Bài tập mẫu 13: Tìm $a$ để hàm số sau liên tục tại điểm $x = 0$:

$fleft( x right) = left{ beginarraylx + 2a & khi,x < 0\x^2 + x + 1 & khi,x ge 0endarray right.$

Hướng dẫn giải

Ta có: $mathop lim limits_x to 0^ + fleft( x right) = fleft( 0 right) = 2a$

Mặt khác: $mathop lim limits_x to 0^ + fleft( x right) = mathop lim limits_x to 0^ + left( x + 2a right) = 2a$

Hàm số $fleft( x right)$ liên tục tại $x = 0 Leftrightarrow 2a = 1 Leftrightarrow a = frac12$

Bài tập mẫu 14: Tìm $a$ để hàm số sau liên tục tại $x =  – 1$:

$fleft( x right) = left{ beginarraylfracx^2 – x – 2x + 1 & khi,x ne  – 1\a + 1 & khi,x =  – 1endarray right.$

Hướng dẫn giải

Ta có: $fleft( – 1 right) = a + 1$

Mặt khác: $mathop lim limits_x to  – 1 fleft( x right) = mathop lim limits_x to  – 1 fracleft( x + 1 right)left( x – 2 right)x + 1 = mathop lim limits_x to  – 1 left( x – 2 right) =  – 3$

Hàm số $fleft( x right)$ liên tục tại $x =  – 1 Leftrightarrow mathop lim limits_x to  – 1 fleft( x right) Leftrightarrow fleft( – 1 right) Leftrightarrow a + 1 =  – 3 Leftrightarrow a =  – 4$

Bài tập mẫu 15: Tìm $m$ để hàm số sau liên tục tại điểm $x = 1$

$fleft( x right) = left{ beginarraylfracx^2 + x – 2x – 1 & khi,x ne 1\m & khi,x = 1endarray right.$

Hướng dẫn giải

Ta có: $fleft( 1 right) = m$

Mặt khác: $mathop lim limits_x to 1 fleft( x right) = mathop lim limits_x to 1 fracx^2 + x – 2x – 1 = mathop lim limits_x to 1 left( x + 2 right) = 3$

Theo định lý ta có: $fleft( x right)$ liên tục tại $x = 1 Leftrightarrow fleft( 1 right) = mathop lim limits_x to 1 fleft( x right) Leftrightarrow m = 3$

Bài tập mẫu 16: Tìm $a$ để hàm số sau liên tục tại $x = 2$:

$fleft( x right) = left{ beginarraylfracx^2 – 7x + 10x – 2 & khi,x ne 2\4 – a & khi,x = 2endarray right.$

Hướng dẫn giải

Ta có:

$mathop lim limits_x to 2 fleft( x right) = mathop lim limits_x to 2 fracx^2 – 7x + 10x – 2 = mathop lim limits_x to 2 frac{left( x – 2 right)left( x – 5 right)}x – 2 =  – 3$

Mặt khác: $fleft( 2 right) = 4 – a$

Hàm số $fleft( x right)$ liên tục tại $x = 2 Leftrightarrow mathop lim limits_x to 2 fleft( x right) = fleft( 2 right) Leftrightarrow 4 – a =  – 3 Leftrightarrow a = 7$

Kết luận với $a = 7$ thì hàm số liên tục tại $x = 2$.

Bài tập trắc nghiệm hàm số liên tục

Bài tập 1: Khẳng định nào sau đây là đúng:

A. Hàm số có giới hạn tại điểm $x = a$ thì liên tục tại $x = a$.

B. Hàm số có giới hạn trái tại điểm $x = a$ thì liên tục tại $x = a$

C. Hàm số có giới hạn phải tại điểm $x = a$ thì liên tục tại $x = a$

D. Hàm số có giới hạn trái và phải tại điểm $x = a$ thì liên tục tại $x = a$.

Đáp án: A

Bài tập 2: Cho một hàm số $fleft( x right)$. Khẳng định nào sau đây là đúng:

A. Nếu $fleft( a right)fleft( b right) < 0$ thì hàm số liên tục trên $left( a;b right)$.

B. Nếu hàm số liên tục trên $left( a;b right)$ thì $fleft( a right)fleft( b right) < 0$.

C. Nếu hàm số liên tục trên $left( a;b right)$ và $fleft( a right)fleft( b right) < 0$ thì phương trình $fleft( x right) = 0$ có nghiệm.

D. Cả ba khẳng định trên đều sai.

Đáp án: C

Bài tập 3: Cho một hàm số $fleft( x right)$. Khẳng định nào sau đây là đúng:

A. Nếu $fleft( x right)$ liên tục trên đoạn $left[ a;b right]$, $fleft( a right)fleft( b right) > 0$ thì phương trình $fleft( x right) = 0$ không có nghiệm trên khoảng $left( a;b right)$.

B. Nếu $fleft( a right)fleft( b right) < 0$ thì phương trình $fleft( x right) = 0$ có ít nhất một nghiệm trong khoảng $left( a;b right)$.

C. Nếu phương trình $fleft( x right) = 0$ có nghiệm trong khoảng $left( a;b right)$ thì hàm số $fleft( x right)$ phải liên tục trên khoảng $left( a;b right)$

D. Nếu hàm số $fleft( x right)$ liên tục, tăng trên đoạn $left[ a;b right]$ và $fleft( a right)fleft( b right) > 0$ thì phương trình $fleft( x right) = 0$ không có nghiệm trong khoảng $left( a;b right)$.

Đáp án: D

Bài tập 4: Cho phương trình $2x^4 – 5x^2 + x + 1 = 0$. Khẳng định nào đúng:

A. Phương trình không có nghiệm trong khoảng $left( – 1;1 right)$.

B. Phương trình không có nghiệm trong khoảng $left( – 2;0 right)$.

C. Phương trình chỉ có một nghiệm trong khoảng $left( – 2;1 right)$.

D. Phương trình có ít nhất nghiệm trong khoảng $left( 0;2 right)$.

Đáp án: D

Bài tập 5: Khẳng định nào đúng:

A. Hàm số $fleft( x right) = fracx + 1sqrt x^2 + 1 $ liên tục trên $R$.

B. Hàm số $fleft( x right) = fracx + 1x – 1$ liên tục trên $R$.

C. Hàm số $fleft( x right) = fracx + 1sqrt x – 1 $ liên tục trên $R$.

D. Hàm số $fleft( x right) = frac{sqrt x + 1 }x – 1$ liên tục trên $R$.

Đáp án: A

Bài tập 6: Cho hàm số $fleft( x right) = left{ beginarraylfracx^2x & x < 1,x ne 0\0 & x = 0\sqrt x  & x le 1endarray right.$. Khẳng định nào đúng:

A. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ các điểm thuộc đoạn $left[ 0;1 right]$.

B. Hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc $R$.

C. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ điểm $x = 0$.

D. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ điểm $x = 1$.

Đáp án: B

Bài tập 7: Cho hàm số $fleft( x right) = left{ beginarraylfracx^2 + 84x + 8 & x ne 2\x & x =  – 2endarray right.$. Khẳng định nào đúng:

A. Hàm số không liên tục trên $R$.

B. Hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc $R$.

C. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ điểm $x = – 2$.

D. Hàm số chỉ liên tục tại điểm $x = – 2$.

Đáp án: B

Bài tập 8: Cho hàm số y$fleft( x right) = left{ beginarraylfracx^3 – 3x + 2x – 2 & x ge 2\3x – 5 & x < 2endarray right.$. Khẳng định nào đúng:

A. Hàm số chỉ liên tục tại điểm $x = 2$.

B. Hàm số chỉ liên tục trái tại $x = 2$.

C. Hàm số chỉ liên tục phải tại $x = 2$.

D. Hàm số liên tục tại điểm $x = 2$.

Đáp án: D

Bài tập 9: Cho hàm số $fleft( x right) = left{ beginarraylfracx^3 – 1x – 1 & x ne 1\2 & x = 1endarray right.$. Khẳng định nào sai:

A. Hàm số liên tục phải tại điểm $x = 1$.

B. Hàm số liên tục trái tại điểm $x = 1$.

C. Hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc $R$.

D. Hàm số gián đoạn tại điểm $x = 1$.

Đáp án: C

Bài tập 10: Trong các hàm sau, hàm nào không liên tục trên khoảng $left( – 1;1 right)$:

A. $fleft( x right) = x^4 – x^2 + 2$

B. $fleft( x right) = frac1sqrt 1 – x^2 $

C. $fleft( x right) = sqrt 8 – 2x^2 $

D. $fleft( x right) = sqrt 2x – 1 $

Đáp án: D

Bài tập 11: Hàm số nào sau đây không liên tục tại $x = 0$:

A. $fleft( x right) = fracx^2 + x + 1x – 1$

B. $fleft( x right) = fracx^2 + x + 1x$

C. $fleft( x right) = fracx^2 + xx$

D. $fleft( x right) = fracx^2 + xx – 1$

Đáp án: B

Bài tập 12: Hàm số nào sau đây liên tục tại $x = 1$:

A. $fleft( x right) = fracx^2 + x + 1x – 1$

B. $fleft( x right) = frac{x^2 + x + 1}x$

C. $fleft( x right) = fracx^2 + xx$

D. $fleft( x right) = frac{x^2 + x}{{x – 1}}$

Đáp án: B

Bài tập 13: Cho hàm số $fleft( x right) = left{ beginarrayl{left( x + 1 right)^2} & x le 0\x^2 + 2 & x > 0endarray right.$. Khẳng định nào sai:

A. Hàm số liên tục phải tại điểm $x = 0$.

B. Hàm số liên tục trái tại điểm $x = 0$.

C. Hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc $R$.

D. Hàm số gián đoạn tại điểm $x = 0$.

Đáp án: C

Bài tập 14: Hàm số $fleft( x right) = left{ beginarrayl3x + 1 & x ge  – 1\x + a & x <  – 1endarray right.$ liên tục trên $R$ nếu $a$ bằng:

A. 1

B. -1

C. -2

D. 2

Đáp án: B

Bài tập 15: Cho hàm số $fleft( x right) = left{ beginarraylfracx^2 – 2x – sqrt 2 & x ne sqrt 2 \sqrt 2  & x = sqrt 2endarray right.$. Khẳng định nào sai:

A. Hàm số gián đoạn tại điểm $x = sqrt 2 $.

B. Hàm số liên tục trên khoảng $left( sqrt 2 ; + infty right)$.

C. Hàm số liên tục trẽn khoảng $left( – infty ;sqrt 2 right)$.

D. Hàm số liên tục trên $R$.

Đáp án: A

Bài tập 16: Cho hàm số $fleft( x right) = left{ beginarraylfrac1 – x{{{left( x – 2 right)^2}}} & x ne 2\3 & x = 2endarray right.$. Khẳng định nào sai:

A. Hàm số gián đoạn tại điểm $x = 2$.

B. Hàm số liên tục trên khoảng $left( 2; + infty right)$.

C. Hàm số liên tục trên khoảng $left( – infty ;2 right)$.

D. Hàm số liên tục trên $R$.

Đáp án: D

Bài tập 17: Hàm số $fleft( x right) = left{ beginarraylfracsqrt x  – 1x^2 – 1 & x ne 1\m^2 & x = 1endarray right.$ liên tục trên $left( 0; + infty right)$ nếu $m$ bằng:

A. $frac pm 12$

B. $frac12$

C. $frac – 12$

D. Đáp án khác

Đáp án: A

Bài tập 18: Hàm số $fleft( x right) = left{ beginarraylfracx^2 – x – 2x – 2 & x ne 2\m^2 & x = 2endarray right.$ liên tục trên $R$ nếu $m$ bằng:

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Đáp án: C

Bài tập 19: Cho hàm số $fleft( x right) = left{ beginarrayl- xcos x & x < 0\fracx^21 + x & 0 le x < 1\x^3 & x ge 1endarray right.$. Khẳng định nào đúng:

A. Hàm số liên tục trên $R$.

B. Hàm số liên tục trên $Rbackslash left 0 right$.

C. Hàm số liên tục trên $Rbackslash left 1 right$

D. Hàm số liên tục trên $Rbackslash left 0,1 right$.

Đáp án: C

Bài tập 20: Cho hàm số $left( x right) = left{ beginarraylfracx^4 + xx^3 + x & x ne 0,x ne  – 1\3 & x =  – 1\1 & x = 0endarray right.$. Khẳng định nào đúng:

A. Hàm số liên tục trên $Rbackslash left[ – 1;0 right]$.

B. Hàm số liên tục trên $R$.

C. Hàm số liên tục trên $Rbackslash left – 1 right$.

D. Hàm số liên tục trên $Rbackslash left 0 right$.

Đáp án: A

Bài tập 21: Hàm số $fleft( x right) = left{ beginarrayl3x + b & x le  – 1\x + a & x >  – 1endarray right.$ liên tục trên $R$ nếu:

A. $a = b – 2$

B. $a = b + 2$

C. $a = 2 – b$

D. $a = – 2 – b$

Đáp án: A

Bài tập 22: Hàm số $fleft( x right) = left{ beginarraylfracx^2 – 3x + 2{x^2 – 2x} & x < 2\mx + m + 1 & x ge 2endarray right.$ liên tục trên $R$ nếu $m$ bằng

A. $6$

B. $-6$

C. $frac – 16$

D. $frac16$

Đáp án: C

Bài tập 23: Hàm số $fleft( x right) = left{ beginarraylax + 5 & x ge 2\3x – 1 & x < 2endarray right.$ liên tục trên $R$ nếu $a$ bằng:

A. 0

B. 3

C. -1

D. 7

Đáp án: A

Một bài học thật dài phải không các bạn? Mong rằng qua bài học trên, VerbaLearn Math đã giúp các bạn hiểu hơn về hàm số liên tục và các dạng toán thường gặp của chuyên đề này. Nếu trong bài học có gì khó hiểu bạn có thể để lại lời nhắn dưới bài viết này nhé.

Bạn thấy bài viết thế nào?