Review Phương trình trùng phương | Lý thuyết & bài tập

Review Phương trình trùng phương | Lý thuyết & bài tập là ý tưởng trong nội dung bây giờ của chúng tôi. Tham khảo nội dung để biết đầy đủ nhé.

Phương trình trùng phương và phương trình quy về trùng phương

Phương trình trùng phương có dạng: $ax^4 + bx^2 + c = 0(a ne 0)$

Thực chất đây là phương trình bậc hai với ẩn $t = x^2$, trong đó $t ge 0$: $at^2 + bt + c = 0$

Việc giải phương trình này là không khó, chỉ cần lưu ý điều kiện: $t ge 0$

Ví dụ 4: Giải phương trình $2x^4 + 3x^2 – 7 = 0$.

Giải:

Đặt $t = x^2(t ge 0)$ thì phương trình đã cho trở thành:

$2t^2 + 3t – 7 = 0 Leftrightarrow left[ beginarray*20ct = frac – 3 + sqrt 65 4 >0\t = frac – 3 + sqrt 65 4 < 0endarray right. Rightarrow x =  pm sqrt t  =  pm fracsqrt – 3 + sqrt 65 4$

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: $x = pm frac{{sqrt – 3 + sqrt 65 }}4$

Ví dụ 5: Giải phương trình $x^4 – 4x^3 + 5x^2 – 2x – 3 = 0$

Đặt $x = t + 1$ thì phương trình trên trở thành:

$(t + 1)^4 – 4(t + 1)^3 + 5(t + 1)^2 – 2(t + 1) – 3 = 0$

$ Leftrightarrow t^4 – t^2 – 3 = 0 Leftrightarrow t^2 = frac1 – sqrt 13 2 < 0$ (Loại) hoặc $t^2 = frac1 + sqrt 13 2$

$ Leftrightarrow t = pm frac1 + sqrt 13 2 Rightarrow x = t + 1 = 1 pm sqrt frac1 + sqrt 13 2 $

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: $x = 1 pm sqrt {frac{1 + sqrt 13 }2} $

Nhận xét: Lời giải trên dựa vào nhận xét sau:

Để kiểm tra phương trình $a^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0$ có phải bản chất là phương trình trùng phương hay không, ta dùng phép đặt $x = t – fracb4a$. Ngoài ra thì ta nên nhớ hằng đẳng thức bậc bốn:

$(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^3$

Ví dụ 6: Giải phương trình $(x – 1)^4 + (x + 3)^4 = 40$

Đặt $x = t – 1$ thì phương trình sẽ trở thành:

$(t – 2)^2 + (t + 2)^2 = 40 Leftrightarrow 2t^4 + 48t^2 – 8 = 0$

$ Leftrightarrow t^2 = – 12 – 2sqrt 37 < 0$ (Loại) Hoặc $t^2 = – 12 + 2sqrt 37 $

$ Leftrightarrow t = pm ( – 12 + 2sqrt 37 ) Rightarrow x = – 1 pm sqrt – 12 + 2sqrt 37 $

Nhận xét: Với phương trình có dạng $(x + a)^4 + (x + b)^4 = c$, ta đặt $x = t – fraca + b2$ để phương trình quy về phương trình trùng phương ẩn t.

Phương trình bậc bốn hồi quy và phương trình phản hồi quy

Phương trình bậc bốn hồi quy có dạng: $ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a = 0(a ne 0)$

Vì $a ne 0$ nên chắc chắn $x = 0$ không phải là nghiệm của phương trình $ Rightarrow x ne 0$. Chia hai về cho $x^2 ne 0$ ta được:

$ax^2 + bx + c + fracbx + fracax^2 = 0$

$ Leftrightarrow aleft( x^2 + frac1x^2 right) + bleft( x + frac1x right) + c = 0$

Đặt $t = x + frac1x(left| t right| ge 2)$. Khi đó: $x^2 + frac1x^2 = t^2 – 2$. Phương trình trên trở thành:

$a(t^2 – 2) + bt + c = 0$

Giải phương trình này tìm $t$ với lưu ý $left| t right| ge 2$.

Sở dĩ ta có điều kiện $left| t right| ge 2$ là do $left| x + frac1x right| = fracx^2 + 1 x right ge fracleft = 2$

Với cách giải tương tự, ta hoàn toàn có thể giải được phương trình bậc bốn phản hồi quy có dạng:

$ax^4 + bx^3 + cx^2 – bx + a = 0(a ne 0)$

Ta chia hai vế cho $x^2,$ rồi đặt $t = x – frac1x$ (không cần điều kiện của $t$ vì với $x ne 0$ thì $left( x – frac1x right)$ có tập giá trị là $R$) để giải quyết.

Ví dụ 7: Giải phương trình $2x^4 + 3x^3 – 5x^2 + 3x + 2 = 0$

(Phương trình trên có dạng phản hồi quy)

Dễ thấy $x = 0$ không thỏa mãn phương trình đã cho $ Rightarrow x ne 0$. Lúc này chia hai vế của phương trình cho $x^2 ne 0$ ta được:

$x^2 + 3x – 5 + frac3x + frac2x^2 = 0$

$ Leftrightarrow 2left( x^2 + frac1x^2 right) + 3left( x + frac1x right) – 5 = 0(*)$

Đặt $t = x + frac1x$ với điều kiện $left| t right| ge 2$. $ Rightarrow x^2 + frac1x^2 = t^2 – 2$

Lúc đó phương trình $(*)$ trở thành $2(t^2 – 2) + 3t – 5 = 0 Leftrightarrow t = frac32$ (loại) Hoặc $t = – 3$

Với $t = – 3 Rightarrow x + frac1x = – 3 Leftrightarrow x^2 + 3x + 1 = 0 Leftrightarrow x = frac – 3 pm sqrt 5 2$

Ví dụ 8: Giải phương trình $x^4 + 3x^3 – 6x^2 – 3x + 1 = 0$

(Phương trình có dạng phản hồi quy)

Dễ thấy $x = 0$ không thỏa mãn phương trình đã cho $ Rightarrow x ne 0$. Lúc này chia hai vế của phương trình cho $x^2 ne 0$ ta được:

$x^2 + 3x – 6 – frac3x + frac1x^2 = 0 Leftrightarrow left( x^2 + frac1x^2 – 2 right) + 3left( x – frac1x right) – 4 = 0$

$ Leftrightarrow left( x – frac1x right)^2 + 3left( x – frac1x right) – 4 = 0 Leftrightarrow left[ beginarray*20cx – frac1x = 1\x – frac1x = – 4endarray right. Leftrightarrow left[ beginarray*20cx = frac1 pm sqrt 5 2\x = – 2 pm sqrt 5 endarray right.$

Phương trình có tập nghiệm là: $S = left{ frac1 pm sqrt 5 2; – 2 pm sqrt 5 right}$

Ví dụ 9: Giải phương trình: $x^4 + 3x^3 – 6x^2 + 6x + 4 = 0$

Dễ thấy $x = 0$ không thỏa mãn phương trình đã cho $ Rightarrow x ne 0$. Lúc này chia hai vế của phương trình cho $x^2 ne 0$ ta được:

$x^2 + 3x – 6 + frac6x + frac4x^2 = 0 Leftrightarrow left( x^2 + frac4x^2 + 4 right) + 3left( x + frac2x right) – 10 = 0$

$ Leftrightarrow left( x + frac2x right)^2 + 3left( x + frac2x right) – 10 = 0$

$ Leftrightarrow left[ beginarray*20cx + frac2x = – 5\x + frac2x = 2(VN)endarray right. Leftrightarrow x = frac – 5 pm sqrt 17 2$

Vậy phương trình có 2 nghiệm là $x = frac – 5 pm sqrt 17 2$

Nhận xét: Phương trình trên có dạng $ax^4 + bx^3 + cx^2 + bkx + ak^2 = 0(a ne 0)$

Đây là một dạng mở rộng của phương trình phản hồi quy. Tương tự ta cũng suy ra cách giải cho dạng mở rộng của phương trình phản hồi quy: $ax^4 + bx^3 + cx^2 + bkx – ak^2 = 0(a ne 0)$

Phương trình bậc bốn khuyết $x^3$

Phương trình có dạng: $ax^4 + bx^2 + cx + d = 0$

Ví dụ 10: Giải phương trình $x^4 – 11x^2 + 12x – 3 = 0$

Dựa trên ý tưởng đưa phương trình về dạng $(ax^2 + b)^2 = (cx + d)^2$, ta sẽ triển khai như sau:

Bước 1: Cô lập $x^4,$ về một vế: $x^4 = 11x^2 – 12x + 3$

Bước 2: Nhóm bình phương ở vế trái bằng cách cộng thêm vào hai vế một lượng là $(2mx^2 + m^2)$, trong đó $m$ là hằng số ta tìm sao cho phù hợp:

$x^4 + 2mx^2 + m^2 = (2m + 11)x^2 – 12x + (3 + m^2)$

$ Leftrightarrow (x^2 + m)^2 = (2m + 11)x^2 – 12x + (3 + m^2)(*)$

Bước 3: Tìm hằng số $m$ sao cho vế phải là một bình phương đúng, tức là biệt thức $Delta $ của vế phải đúng bằng $0$.

$ Leftrightarrow 12^2 – 4(2m + 11)(3 + m^2) = 0$

$ Leftrightarrow m = – 1$ hoặc $m = frac – 9 pm sqrt 105 4$

Để bài giải có tính thẩm mĩ của bài toán thì ta nên chọn $m = – 1$. Khi đó $(*)$ sẽ trở thành:

$(x^2 – 1)^2 = 9x^2 – 12x + 4 Leftrightarrow (x^2 – 1)^2 = (3x – 2)^2$

$ Leftrightarrow left[ beginarray*20cx^2 – 1 = 3x – 2\x^2 – 1 = 2 – 3xendarray right.$

$ Leftrightarrow left[ beginarray*20cx = frac3 pm sqrt 5 2\x = frac3 pm sqrt 21 2endarray right.$

Kết luận phương trình có tập nghiệm $S = left{ {frac3 pm sqrt 5 2;frac3 pm sqrt 21 2} right}$

Nhận xét: Như vậy, việc giải phương trình có dạng khuyết $x^3$ được chia làm các bước quan trọng như trên. Quan trọng nhất vẫn là bước giải phương trình tìm ra $m$. Nếu phương trình bậc ba ẩn $m$ dễ giải thì quá tuyệt vời

Phương trình có dạng $(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m,a + b = c + d$

Cách giải phương trình này là xét trường hợp $x = 0$. Còn trường hợp $x ne 0$ thì biến đổi phương trình về dạng:

$[x^2 + (a + b)x + ab][x^2 + (c + d)x + cd] = m$

Do $a + b = c + d$ nên ta đặt $t = x^2 + (a + b)x$ thì phương trình trở thành: $(t + ab)(t + cd) = m$

→ Đây là phương trình bậc hai ẩn $t$. Ta tiến hành tìm $t$ sau đó quay ngược lại tìm $x$.

Ví dụ 11: Giải phương trình $(x^4 + 4x + 3)(x^2 + 12x + 35) = 9$

Phương trình đã cho tương đương với:

$(x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = 9$

$ Leftrightarrow (x + 1)(x + 7)(x + 3)(x + 5) = 9$

$ Leftrightarrow (x^2 + 8x + 7)(x^2 + 8x + 15) = 9$

$ Leftrightarrow (x^2 + 8x)^2 + 22(x^2 + 8x) + 96 = 0$

$ Leftrightarrow left[ beginarray*20cx^2 + 8x = – 6\x^2 + 8x = – 16endarray right.$

$ Leftrightarrow left[ beginarray*20cx = – 4 pm sqrt 10 \x = – 4endarray right.$

e) Phương trình dạng $(x^2 + bx + a)(x^2 + cx + a) = mx^2$

Đầu tiên thử xem $x = 0$ có phải là nghiệm của phương trình hay không. Khi $x ne 0$ ta tiến hành chia hai về của phương trình cho $x^2 ne 0$. Ta được:

$left( x + fracax + b right)left( x + fracax + c right) = m$

(“chia phân phát” ở vế trái, mỗi dấu ngoặc ta chia cho $x$)

Đây là phương trình bậc hai, ẩn $t = x + fracax$

Ví dụ 12: Giải phương trình $(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) = frac – 3x^24$

Phân tích: Nhận xét rằng 6×1 = 2×3 nên ta sử dụng phép nhân phân phối để đưa về dạng phương trình đề cập trong trường hợp này:

$ Leftrightarrow (x^2 + 7x + 6)(x^2 + 5x + 6) = frac{ – 3x^2}4$

$ Leftrightarrow left( x + frac6x + 7 right)left( x + frac6x + 5 right) = frac – 34$ (Dễ thấy $x ne 0$)

$ Leftrightarrow left( x + frac6x right)^2 + 12left( x + frac6x right) + frac1434 = 0$

$ Leftrightarrow left[ beginarray*20cx + frac6x = frac – 112\x + frac6x = frac – 132endarray right.$

$ Leftrightarrow left[ {beginarray*20cx = frac – 32\x = – 4\x = frac – 13 pm sqrt 73 4endarray} right.$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = left{ – 4;frac – 32; right}$

Bạn thấy bài viết thế nào?