Review Phương trình trùng phương | Lý thuyết & bài tập

Phương trình trùng phương và phương trình quy về trùng phương

Phương trình trùng phương có dạng: $ax^4 + bx^2 + c = 0(a ne 0)$

Thực chất đây là phương trình bậc hai với ẩn $t = x^2$, trong đó $t ge 0$: $at^2 + bt + c = 0$

Việc giải phương trình này là không khó, chỉ cần lưu ý điều kiện: $t ge 0$

Ví dụ 4: Giải phương trình $2x^4 + 3x^2 – 7 = 0$.

Giải:

Đặt $t = x^2(t ge 0)$ thì phương trình đã cho trở thành:

$2t^2 + 3t – 7 = 0 Leftrightarrow left[ beginarray*20ct = frac – 3 + sqrt 65 4 >0\t = frac – 3 + sqrt 65 4 < 0endarray right. Rightarrow x =  pm sqrt t  =  pm fracsqrt – 3 + sqrt 65 4$

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: $x = pm frac{{sqrt – 3 + sqrt 65 }}4$

Ví dụ 5: Giải phương trình $x^4 – 4x^3 + 5x^2 – 2x – 3 = 0$

Đặt $x = t + 1$ thì phương trình trên trở thành:

$(t + 1)^4 – 4(t + 1)^3 + 5(t + 1)^2 – 2(t + 1) – 3 = 0$

$ Leftrightarrow t^4 – t^2 – 3 = 0 Leftrightarrow t^2 = frac1 – sqrt 13 2 < 0$ (Loại) hoặc $t^2 = frac1 + sqrt 13 2$

$ Leftrightarrow t = pm frac1 + sqrt 13 2 Rightarrow x = t + 1 = 1 pm sqrt frac1 + sqrt 13 2 $

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: $x = 1 pm sqrt {frac{1 + sqrt 13 }2} $

Nhận xét: Lời giải trên dựa vào nhận xét sau:

Để kiểm tra phương trình $a^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0$ có phải bản chất là phương trình trùng phương hay không, ta dùng phép đặt $x = t – fracb4a$. Ngoài ra thì ta nên nhớ hằng đẳng thức bậc bốn:

$(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^3$

Ví dụ 6: Giải phương trình $(x – 1)^4 + (x + 3)^4 = 40$

Đặt $x = t – 1$ thì phương trình sẽ trở thành:

$(t – 2)^2 + (t + 2)^2 = 40 Leftrightarrow 2t^4 + 48t^2 – 8 = 0$

$ Leftrightarrow t^2 = – 12 – 2sqrt 37 < 0$ (Loại) Hoặc $t^2 = – 12 + 2sqrt 37 $

$ Leftrightarrow t = pm ( – 12 + 2sqrt 37 ) Rightarrow x = – 1 pm sqrt – 12 + 2sqrt 37 $

Nhận xét: Với phương trình có dạng $(x + a)^4 + (x + b)^4 = c$, ta đặt $x = t – fraca + b2$ để phương trình quy về phương trình trùng phương ẩn t.

Phương trình bậc bốn hồi quy và phương trình phản hồi quy

Phương trình bậc bốn hồi quy có dạng: $ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a = 0(a ne 0)$

Vì $a ne 0$ nên chắc chắn $x = 0$ không phải là nghiệm của phương trình $ Rightarrow x ne 0$. Chia hai về cho $x^2 ne 0$ ta được:

$ax^2 + bx + c + fracbx + fracax^2 = 0$

$ Leftrightarrow aleft( x^2 + frac1x^2 right) + bleft( x + frac1x right) + c = 0$

Đặt $t = x + frac1x(left| t right| ge 2)$. Khi đó: $x^2 + frac1x^2 = t^2 – 2$. Phương trình trên trở thành:

$a(t^2 – 2) + bt + c = 0$

Giải phương trình này tìm $t$ với lưu ý $left| t right| ge 2$.

Sở dĩ ta có điều kiện $left| t right| ge 2$ là do $left| x + frac1x right| = fracx^2 + 1 x right ge fracleft = 2$

Với cách giải tương tự, ta hoàn toàn có thể giải được phương trình bậc bốn phản hồi quy có dạng:

$ax^4 + bx^3 + cx^2 – bx + a = 0(a ne 0)$

Ta chia hai vế cho $x^2,$ rồi đặt $t = x – frac1x$ (không cần điều kiện của $t$ vì với $x ne 0$ thì $left( x – frac1x right)$ có tập giá trị là $R$) để giải quyết.

Ví dụ 7: Giải phương trình $2x^4 + 3x^3 – 5x^2 + 3x + 2 = 0$

(Phương trình trên có dạng phản hồi quy)

Dễ thấy $x = 0$ không thỏa mãn phương trình đã cho $ Rightarrow x ne 0$. Lúc này chia hai vế của phương trình cho $x^2 ne 0$ ta được:

$x^2 + 3x – 5 + frac3x + frac2x^2 = 0$

$ Leftrightarrow 2left( x^2 + frac1x^2 right) + 3left( x + frac1x right) – 5 = 0(*)$

Đặt $t = x + frac1x$ với điều kiện $left| t right| ge 2$. $ Rightarrow x^2 + frac1x^2 = t^2 – 2$

Lúc đó phương trình $(*)$ trở thành $2(t^2 – 2) + 3t – 5 = 0 Leftrightarrow t = frac32$ (loại) Hoặc $t = – 3$

Với $t = – 3 Rightarrow x + frac1x = – 3 Leftrightarrow x^2 + 3x + 1 = 0 Leftrightarrow x = frac – 3 pm sqrt 5 2$

Ví dụ 8: Giải phương trình $x^4 + 3x^3 – 6x^2 – 3x + 1 = 0$

(Phương trình có dạng phản hồi quy)

Dễ thấy $x = 0$ không thỏa mãn phương trình đã cho $ Rightarrow x ne 0$. Lúc này chia hai vế của phương trình cho $x^2 ne 0$ ta được:

$x^2 + 3x – 6 – frac3x + frac1x^2 = 0 Leftrightarrow left( x^2 + frac1x^2 – 2 right) + 3left( x – frac1x right) – 4 = 0$

$ Leftrightarrow left( x – frac1x right)^2 + 3left( x – frac1x right) – 4 = 0 Leftrightarrow left[ beginarray*20cx – frac1x = 1\x – frac1x = – 4endarray right. Leftrightarrow left[ beginarray*20cx = frac1 pm sqrt 5 2\x = – 2 pm sqrt 5 endarray right.$

Phương trình có tập nghiệm là: $S = left{ frac1 pm sqrt 5 2; – 2 pm sqrt 5 right}$

Ví dụ 9: Giải phương trình: $x^4 + 3x^3 – 6x^2 + 6x + 4 = 0$

Dễ thấy $x = 0$ không thỏa mãn phương trình đã cho $ Rightarrow x ne 0$. Lúc này chia hai vế của phương trình cho $x^2 ne 0$ ta được:

$x^2 + 3x – 6 + frac6x + frac4x^2 = 0 Leftrightarrow left( x^2 + frac4x^2 + 4 right) + 3left( x + frac2x right) – 10 = 0$

$ Leftrightarrow left( x + frac2x right)^2 + 3left( x + frac2x right) – 10 = 0$

$ Leftrightarrow left[ beginarray*20cx + frac2x = – 5\x + frac2x = 2(VN)endarray right. Leftrightarrow x = frac – 5 pm sqrt 17 2$

Vậy phương trình có 2 nghiệm là $x = frac – 5 pm sqrt 17 2$

Nhận xét: Phương trình trên có dạng $ax^4 + bx^3 + cx^2 + bkx + ak^2 = 0(a ne 0)$

Đây là một dạng mở rộng của phương trình phản hồi quy. Tương tự ta cũng suy ra cách giải cho dạng mở rộng của phương trình phản hồi quy: $ax^4 + bx^3 + cx^2 + bkx – ak^2 = 0(a ne 0)$

Phương trình bậc bốn khuyết $x^3$

Phương trình có dạng: $ax^4 + bx^2 + cx + d = 0$

Ví dụ 10: Giải phương trình $x^4 – 11x^2 + 12x – 3 = 0$

Dựa trên ý tưởng đưa phương trình về dạng $(ax^2 + b)^2 = (cx + d)^2$, ta sẽ triển khai như sau:

Bước 1: Cô lập $x^4,$ về một vế: $x^4 = 11x^2 – 12x + 3$

Bước 2: Nhóm bình phương ở vế trái bằng cách cộng thêm vào hai vế một lượng là $(2mx^2 + m^2)$, trong đó $m$ là hằng số ta tìm sao cho phù hợp:

$x^4 + 2mx^2 + m^2 = (2m + 11)x^2 – 12x + (3 + m^2)$

$ Leftrightarrow (x^2 + m)^2 = (2m + 11)x^2 – 12x + (3 + m^2)(*)$

Bước 3: Tìm hằng số $m$ sao cho vế phải là một bình phương đúng, tức là biệt thức $Delta $ của vế phải đúng bằng $0$.

$ Leftrightarrow 12^2 – 4(2m + 11)(3 + m^2) = 0$

$ Leftrightarrow m = – 1$ hoặc $m = frac – 9 pm sqrt 105 4$

Để bài giải có tính thẩm mĩ của bài toán thì ta nên chọn $m = – 1$. Khi đó $(*)$ sẽ trở thành:

$(x^2 – 1)^2 = 9x^2 – 12x + 4 Leftrightarrow (x^2 – 1)^2 = (3x – 2)^2$

$ Leftrightarrow left[ beginarray*20cx^2 – 1 = 3x – 2\x^2 – 1 = 2 – 3xendarray right.$

$ Leftrightarrow left[ beginarray*20cx = frac3 pm sqrt 5 2\x = frac3 pm sqrt 21 2endarray right.$

Kết luận phương trình có tập nghiệm $S = left{ {frac3 pm sqrt 5 2;frac3 pm sqrt 21 2} right}$

Nhận xét: Như vậy, việc giải phương trình có dạng khuyết $x^3$ được chia làm các bước quan trọng như trên. Quan trọng nhất vẫn là bước giải phương trình tìm ra $m$. Nếu phương trình bậc ba ẩn $m$ dễ giải thì quá tuyệt vời

Phương trình có dạng $(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m,a + b = c + d$

Cách giải phương trình này là xét trường hợp $x = 0$. Còn trường hợp $x ne 0$ thì biến đổi phương trình về dạng:

$[x^2 + (a + b)x + ab][x^2 + (c + d)x + cd] = m$

Do $a + b = c + d$ nên ta đặt $t = x^2 + (a + b)x$ thì phương trình trở thành: $(t + ab)(t + cd) = m$

→ Đây là phương trình bậc hai ẩn $t$. Ta tiến hành tìm $t$ sau đó quay ngược lại tìm $x$.

Ví dụ 11: Giải phương trình $(x^4 + 4x + 3)(x^2 + 12x + 35) = 9$

Phương trình đã cho tương đương với:

$(x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = 9$

$ Leftrightarrow (x + 1)(x + 7)(x + 3)(x + 5) = 9$

$ Leftrightarrow (x^2 + 8x + 7)(x^2 + 8x + 15) = 9$

$ Leftrightarrow (x^2 + 8x)^2 + 22(x^2 + 8x) + 96 = 0$

$ Leftrightarrow left[ beginarray*20cx^2 + 8x = – 6\x^2 + 8x = – 16endarray right.$

$ Leftrightarrow left[ beginarray*20cx = – 4 pm sqrt 10 \x = – 4endarray right.$

e) Phương trình dạng $(x^2 + bx + a)(x^2 + cx + a) = mx^2$

Đầu tiên thử xem $x = 0$ có phải là nghiệm của phương trình hay không. Khi $x ne 0$ ta tiến hành chia hai về của phương trình cho $x^2 ne 0$. Ta được:

$left( x + fracax + b right)left( x + fracax + c right) = m$

(“chia phân phát” ở vế trái, mỗi dấu ngoặc ta chia cho $x$)

Đây là phương trình bậc hai, ẩn $t = x + fracax$

Ví dụ 12: Giải phương trình $(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) = frac – 3x^24$

Phân tích: Nhận xét rằng 6×1 = 2×3 nên ta sử dụng phép nhân phân phối để đưa về dạng phương trình đề cập trong trường hợp này:

$ Leftrightarrow (x^2 + 7x + 6)(x^2 + 5x + 6) = frac{ – 3x^2}4$

$ Leftrightarrow left( x + frac6x + 7 right)left( x + frac6x + 5 right) = frac – 34$ (Dễ thấy $x ne 0$)

$ Leftrightarrow left( x + frac6x right)^2 + 12left( x + frac6x right) + frac1434 = 0$

$ Leftrightarrow left[ beginarray*20cx + frac6x = frac – 112\x + frac6x = frac – 132endarray right.$

$ Leftrightarrow left[ {beginarray*20cx = frac – 32\x = – 4\x = frac – 13 pm sqrt 73 4endarray} right.$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = left{ – 4;frac – 32; right}$