Phân tích Tìm tập xác định của hàm số

Bài viết hướng dẫn tìm tập xác định của hàm số, dạng toán cơ bản trong chương trình đại số lớp 10. Bài viết gồm 4 phần cơ bản: Lý thuyết về tập xác định của hàm số, bài tập tự luyện, tập xác định của hàm logarit, tập xác định của hàm số mũ. Mời các bạn cùng theo dõi.

Lý thuyết về tập xác định của hàm số

√ $y = sqrt uleft( x right) $ có nghĩa khi và chỉ khi $uleft( x right)$ xác định và $uleft( x right) > 0$.

√ $y = fraculeft( x right)vleft( x right)$ có nghĩa khi và chỉ $uleft( x right)$, $vleft( x right)$ xác định và $vleft( x right) ne vleft( x right)$

√ $y = fraculeft( x right)sqrt vleft( x right) $ có nghĩa khi và chỉ u$uleft( x right)$, $vleft( x right)$ xác định và $vleft( x right) > 0$.

√ Hàm số $y = sinx,y = cosx$ xác định trên $R$ và tập giá trị của nó là: $ – 1 le sinx le 1; – 1 le cosx le 1$.

Như vậy, y$ = sinleft[ uleft( x right) right],y = cos[u(x)]$ xác định khi và chi khi $u(x)$ xác định.

√ $y = tanu(x)$ có nghĩa khi và chi khi $u(x)$ xác định và $uleft( x right) ne fracpi 2 + kpi ,k in Z$.

√ $y = cotuleft( x right)$ có nghĩa khi và chi khi $uleft( x right)$ xác định và $uleft( x right) ne fracpi 2 + kpi ,k in Z$.

Bài tập ví dụ tìm TXĐ hàm số

Ví dụ 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau :

a) $y = cot y = sin left( frac5xx^2 – 1 right)$

b) $y = cos sqrt 4 – x^2 $;

c) $y = sqrt mathoprm sinxnolimits $

d) $y = sqrt 1 – mathoprm sinxnolimits $

Giải

a) Hàm $y = sin left( frac5xx^2 – 1 right)$ xác định $ Leftrightarrow x^2 – 1 ne x Leftrightarrow x ne  pm 1$.

Vậy $D = Rbackslash left pm 1 right$.

b) Hàm số $y = cossqrt x^2 – 4 $ xác định $ Leftrightarrow 4 – x^2 > 0 Leftrightarrow x^2 le 4 Leftrightarrow  – 2 le x le 2$.

Vậy $D = left x in E right$.

c) Hàm số $y = sqrt mathoprm sinxnolimits $ xác định $ Leftrightarrow sin x ge 0 Leftrightarrow k2pi  le x le pi  + k2pi ,k in Z$.

Vậy $D = left x in R right$.

d) Ta có: $ – 1 le sin x le 1 Rightarrow 2 – sin x > 0$.

Do đó, hàm số luôn luôn xác định hay $D = R$.

Ví dụ 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y = tan left( x – fracpi 6 right)$

b) $y = cot left( x + fracpi 3 right)$

c) $y = fracmathoprm sinxnolimits cos left( x – pi right)$

d) $y = frac1mathoprm tanxnolimits  – 1$

Giải

a) Hàm số $y = tan left( x – fracpi 6 right)$ xác định $ Leftrightarrow x – fracpi 6 ne fracpi 2 + kpi  Leftrightarrow x ne frac2pi 3 + kpi ,k in Z$

Vậy $D = Rbackslash left{ frac2pi 3 + kpi ,k in Z right}$

b) Hàm số $y = cot left( x + fracpi 3 right)$ xác định $ Leftrightarrow x + fracpi 3 ne kpi  Leftrightarrow x ne  – fracpi 3 + kpi ,k in Z$

Vậy $D = Rbackslash  – left fracpi 3 + kpi ,k in Z right$

c) Hàm số $y = frac{mathoprm sinxnolimits }cos left( x – pi right)$ xác định $ Leftrightarrow cos left( x – pi right) ne 0 Leftrightarrow x – pi  ne fracpi 2 + kpi  Leftrightarrow x ne frac3pi 2 + kpi ,k in Z$

Vậy $D = Rbackslash left{ frac3pi 2 + kpi ,k in Z right}$

d) Hàm số $y = frac1{mathoprm tanxnolimits  – 1}$ xác định $left{ beginarraylmathoprm tanxnolimits  ne 1\cos x ne 0endarray right. Leftrightarrow left{ beginarraylx ne fracpi 4 + kpi \x ne fracpi 2 + kpiendarray right.,k in Z$

Vậy $D = Rbackslash left fracpi 4 + kpi ,fracpi 2 + kpi ,k in Z right$

Vậy $D = fracpi 4 + kpi ,fracpi 2 + kpi ,k in Z$

Ví dụ 3. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y = cos 2x + frac1cos x$;

b) $y = frac3cos 2xsin 3xcos 3x$

Giải

a) Hàm số $y = cos 2x + frac1cos x$ xác định $ Leftrightarrow cos x ne 0 Leftrightarrow x ne fracpi 2 + kpi ,k in Z$

Vậy $D = Rbackslash left fracpi 2 + kpi ,k in Z right$

b) Hàm số $y = frac3cos 2xsin 3xcos 3x$ xác định $ Leftrightarrow sin 3xcos 3x ne 0 Leftrightarrow frac12sin 6x ne 0 Leftrightarrow 6x ne kpi  Leftrightarrow x ne frackpi 6,k in Z$.

Vậy $D = Rbackslash left frackpi 6,k in Z right$.

Ví dụ 4. Tìm $m$ để hàm số sau đây xác định trên : $R:y = sqrt 2m – 3cos x $.

Giải

Hàm số đã cho xác định trên $R$ khi và chỉ khi $2m – 3cos x ge 0 Leftrightarrow cos x le frac2m3$

Bất đẳng thức trên đúng với mọi $x$ khi $1 le frac2m3 Leftrightarrow m ge frac32$.

Bài tập rèn luyện

BT 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y = sqrt 1 – cos ^2x $;

b) $y = sqrt frac2 + sin x1 + cos x $

Giải

a) Nhận thấy $0 le cos^2x le 1$  nên $1 – cos^2x ge 0,forall x in R$.

Vậy $D = R$.

b) Hàm số $y = sqrt frac2 + sin x1 + cos x $ xác định $ Leftrightarrow 1 + cos x ne 0 Leftrightarrow x ne pi  + k2pi ,k in Z$

Vậy $D = Rbackslash left pi  + k2pi ,k in Z right$

BT 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau

a) $y = tan left( 3x – fracpi 3 right)$

b) $y = tan 6x + frac1cot 3x$;

c) $y = fractan 2xsin x + 1 + cot left( 3x + fracpi 6 right)$

d) $y = fractan 5xsin 4x – cos 3x$

Giải

a) Hàm số $y = tan left( 3x – fracpi 3 right)$ xác định $ Leftrightarrow 3x – fracpi 3 ne fracpi 2 + kpi  Leftrightarrow x ne frac5pi 18 + kfracpi 3,k in Z$

Vậy $D = Rbackslash left{ frac5pi 18 + kfracpi 3,k in Z right}$

b) Hàm số $y = tan 6x + frac1cot 3x$ xác định $ Leftrightarrow left{ beginarraylcos 6x ne 0\sin 3x ne 0\cot 3x ne 0endarray right. Leftrightarrow left{ beginarraylcos 6x ne 0\sin 3x ne 0endarray right. Leftrightarrow sin 12x ne 0 Leftrightarrow x ne frackpi 2,k in Z$

Vậy $D = Rbackslash left frackpi 2,k in Z right$

c) Hàm $y = fractan 2xsin x + 1 + cot left( 3x + fracpi 6 right)$ xác định khi và chỉ khi $ Leftrightarrow left{ beginarraylsin x ne 0\cos 2x ne 0\sin left( 3x + fracpi 6 right) ne 0endarray right.Leftrightarrow left{ beginarraylx ne  – fracpi 2 + k2pi \x ne fracpi 4 + frackpi 2\x ne  -fracpi 18 + frackpi 3endarray right.,k in Z$

Vậy $D = Rbackslash left{ { – fracpi 2 + k2pi ,fracpi 4 + frackpi 2, – fracpi 18 + frackpi 3,k in Z} right}$

d) Hàm số $y = fractan 5xsin 4x – cos 3x$ xác định khi và chỉ khi $ Leftrightarrow left{ beginarraylcos 5x ne 0\sin 4x ne cos 3xendarray right. Leftrightarrow left{ beginarraylx ne fracpi 10 + frackpi 5\fracpi 2 – 4x ne 3x + k2pi \fracpi 2 – 4x –  ne 3x + k2piendarray right.$ $ Leftrightarrow left{ beginarraylx ne fracpi 10 + frackpi 5\7x ne fracpi 2 – k2pi \x ne fracpi 2 – k2piendarray right. Leftrightarrow left{ beginarraylx ne fracpi 10 + frackpi 5\x ne fracpi 14 – frack2pi 7\x ne fracpi 2 – k2piendarray right.,k in Z$

Vậy $D = Rbackslash left{ {fracpi 10 + frac{kpi }5,fracpi 14 – frack2pi 7,fracpi 2 – k2pi ,k in Z} right}$

BT 3. Tìm m để hàm số sau xác định trên $R:y = frac3x{sqrt 2sin ^2x – msin x + 1 }$

Giải

Hàm số xác định trên $R$ khi và chi khi: $2sin^2x – msinx + 1 > 0$ với mọi $t in left[ – 1:1 right]$

Ta có: $Delta  = m^2 – 8$

TH 1: $Delta  < 0 Leftrightarrow m^2 – 8 < 0 Leftrightarrow  – 2sqrt 2  < m < 2sqrt 2 $. Khi đó $fleft( t right) > 0,forall t$ (thỏa mãn)

TH 2: $Delta  = 0 Leftrightarrow m^2 – 8 = 0 Leftrightarrow left[ beginarraylm =  – 2sqrt 2 \m = 2sqrt 2endarray right.$

Với $m =  – 2sqrt 2 $ thì $fleft( t right) = 2t^2 – 2sqrt 2 t + 1 = left( sqrt 2 t – 1 right)^2$

Ta thấy $fleft( t right) = 0$ tại $t = frac1sqrt 2 in left[ – 1;1 right]$ (không thỏa mãn)

Với $m = 2sqrt 2 $ thì $fleft( t right) = 2t^2 + 2sqrt 2 t + 1 = left( sqrt 2 t + 1 right)^2$

Ta thấy $fleft( t right) = 0$ tại $t = frac1sqrt 2 in left[ – 1;1 right]$ (không thỏa mãn)

TH3: $Delta  > 0 Leftrightarrow m^2 – 8 > 0 Leftrightarrow left[ beginarraylm <  – 2sqrt 2 \m > 2sqrt 2endarray right.$ khi đó tam thức $fleft( t right)$ có hai nghiệm phân biệt (giả sử) $t_1 < t_2$

Ta có bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu ta thấy: $fleft( t right) = 2t^2 – mt + 1 > 0,forall t in left[ – 1;1 right] Leftrightarrow t_1 > 1$ hoặc $t_1 < 1$

Với $t_1 > 1 Leftrightarrow fracm – sqrt m^2 – 8 4 > 1 Leftrightarrow sqrt m^2 – 8  < m – 4Leftrightarrow left{ beginarraylm > 4\m < 3endarray right.$ oawcj

(Vô nghiệm)

Với $t_2 <  – 11 Leftrightarrow fracm + sqrt m^2 – 8 4 < 1 Leftrightarrow sqrt m^2 – 8  <  – m – 4 Leftrightarrow left{ beginarraylm <  – 4\m >  – 3endarray right.$  (Vô nghiệm)

Vậy giá trị $m$ cần tìm là $ – 2sqrt 2  < m < 2sqrt 2 $.

Tìm tập xác định của hàm số Mũ – Logarit

1. Lý thuyết về hàm số Mũ – Logarit

√ Hàm số $y = log _afleft( x right)$ xác định $ Leftrightarrow left{ beginarrayl0 < a ne 1\fleft( x right) > 0endarray right.$

√ Hàm số $y = log _gleft( x right)fleft( x right)$ xác định $ Leftrightarrow left{ beginarraylfleft( x right) > 0\0 < gleft( x right) ne 1endarray right.$

√ Hàm số xác định $y = left( fleft( x right) right)^gleft( x right)$ xác định $ Leftrightarrow fleft( x right) > 0$

2. Ví dụ tìm tập XĐ của hàm số Mũ, Logarit

Ví dụ 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

1. $y = sqrt 5x – 2x^2 – 2 +ln frac1x^2 – 1$

2. $y = sqrt x^2 – 4x+3 log _2left( 25 – 4x^2 right)$

3. $y = log _2x+1left( 3x+1 right) – 2log _3x+1left( 2x+1 right)$

4. $y = log _sqrt 3x+2 left( 1 – sqrt x – 4x^2 right)$

Lời giải

1. Điều kiện: $left{ beginarrayl – 2x^2+5x – 2 ge 0\x^2 – 1 > 0endarray right. Leftrightarrow  ge left{ beginarraylfrac12 le x le 2\x <  – 1,hoặc,x > 1endarray right. Leftrightarrow left{ 1 < x le 2 right.$

Vậy , $D = left( 1;2 right]$

2. Điều kiện $left{ beginarraylx^2 – 4x+3 ge 0\25 – 4x^2 > 0endarray right. Leftrightarrow left{ beginarraylx ge 3,hoac,x le 1\ – frac52 < x < frac52endarray right. Leftrightarrow  – frac52 < x le 1$

Vậy, $D = left( – frac52;1 right]$

3. Điều kiện: $left{ beginarrayl0 < 2x+1 ne 1\0 < 3x+1 ne 1endarray right. Leftrightarrow left{ beginarraylx ge  – frac13\x ne 0endarray right.$

Vậy, $D = left[ – frac13;+infty right)backslash left 0 right$

4. Điều kiện: $left{ beginarrayl0 < 3x+2 ne 1\1 – sqrt 1 – 4x^2  > 0endarray right. Leftrightarrow left{ beginarraylx ge  – frac23\x ne  – frac13;x ne 0endarray right.$

Vậy, $D = left( – frac23;+infty right)backslash left – frac13;0 right$

Ví dụ 2: Tìm tập xác định các hàm số sau:

1. $y = sqrt {log _2left[ log _frac12left( fracx^2+1x^2+3 right) right]} $

2. $y = fracsqrt x – 1 ln left( – 2x+sqrt x +3 right) – ln 3$

Lời giải

1. Hàm số xác định khi và chỉ khi:

$y = sqrt {log _2left[ log _frac12left( fracx^2+1x^2+3 right) right]}  ge 0 Leftrightarrow log _frac12left( fracx^2+1x^2+3 right) ge 1 Rightarrow 0 < fracx^2+1x^2+3 le frac12 Leftrightarrow left| x right| le 1$

Vậy: $D = left[ – 1;1 right]$

2. Hàm số xác định khi và chỉ khi:

$beginarraylleft{ beginarraylx ge 0\ – 2x+sqrt x +3 > 0\ln left( – 2n+sqrt x +3 right) – ln 3 ne 0endarray right. Leftrightarrow left{ beginarraylx ge 0\2left( sqrt 2 right)^2 – sqrt x  – 3 < 0\2left( sqrt 2 right)^2 – sqrt x  ne 0endarray right.\ Leftrightarrow left{ beginarraylx ge 0\ – 1 < sqrt x  < frac32\sqrt x  ne 0,sqrt x  ne frac12endarray right. Leftrightarrow left{ beginarrayl0 < x < frac94\x ne frac14endarray right.endarray$

$ Rightarrow D = left( 0;frac14 right) cup left( frac14;frac94 right)$

3. Bài tập tự luyện

Bài 1: Tìm tập xác định các hàm số sau:

1. $y = sqrt ln frac1x – 1 $

2. $y = sqrt ln left( x+sqrt x^2 – 4 right) $

3. $y = {left( sqrt x^2+1  – 2 right)^{ln fracsqrt 3x – 2 {left( x^2 – 1 right)}}}$

4. $y = sqrt 5x – 2x^2 – 2 +ln frac1x^2 – 1$

5. $y = sqrt x^2 – 4x+3 log _2left( 25 – 4x^2 right)$

6. $y = log _2n+1left( 3x+1 right) – 2log _3x+1left( 2x+1 right)$

7. $y = log _sqrt 3x+2 left( 1 – sqrt 1 – 4x^2 right)$

Bài tập tìm Tập xác định của hàm số luyện thi đại học

Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

1. $y = sqrt 4 – x^2 +log _2fracx – 1x+1$

2. $y = sqrt x^2 – 4x+3  – log _xleft( x^2 – 4 right)$

3. $y = ln left( sqrt x^2+1  – x right)sqrt log _2fracx+2x – 3 $

4. $y = {left( x^2+2 right)^{log _xleft( log _2left( sqrt x^2+2x  – 3 right) right)}}$

Bài 2: Tìm $m$ để hàm số sau xác định với $forall x in R$

1. $y = ln left( fracx^2 – mx+1x^2 – x+1 – frac23 right)+sqrt frac32 – fracx^2 – mx+1x^2 – x+1 $

2. $y = log _2left( 2x^2+3x+2m – 1 right)$

3. $y = log _3fracx^2+2mx+m+2{x^2+3}$

4. $y = sqrt log _2fracx^2+mx+13x^2 – 2mx+2m – 1 $

Lời giải:

Bài 1:

1. $left{ beginarraylln frac1x – 1 ge 0\x – 1 > 0endarray right. Leftrightarrow left{ beginarraylfrac1x – 1 ge 1\x > 1endarray right. Leftrightarrow 1 < x le 2 Rightarrow D = left( 1;2 right]$

2. $ln left( x+sqrt x^2 – 4 right) ge 0 Leftrightarrow x+sqrt x^2 – 4  ge 1$

$ Leftrightarrow $ 2 trường hợp:

+) TH1: $x ge 2$

+) TH2: $left{ beginarraylx <  – 2\x^2 – 4 ge left( 1 – x right)^2endarray right.$$ Leftrightarrow x ge 2$

3. $left{ beginarraylsqrt x^2+1  – 2 > 0\3x – 2 ge 0\x^2 > 0endarray right. Leftrightarrow x ge sqrt 3  Rightarrow D = left[ sqrt 3 ;+infty right)$

4. $beginarraylleft{ beginarrayl – 2x^2+5x – 2 ge 0\x^2 – 1 > 0endarray right. Leftrightarrow left{ beginarraylfrac12 le x le 2\x <  – 1,hoac,x > 1endarray right.\ Leftrightarrow 1 < x le 2 Rightarrow D = left( 1;2 right]endarray$

5. $beginarraylleft{ beginarraylx^2 – 4x+3 ge 0\25 – 4x^2 > 0endarray right. Leftrightarrow left{ beginarraylx ge 3,hoac,x le 1\ – frac52 < x < frac52endarray right.\ Leftrightarrow  – frac52 < x le  – 1 Rightarrow D = left( – frac52;1 right]endarray$

6. $left{ beginarrayl0 < 2x+1 ne 1\0 < 3x+1 ne 1endarray right. Leftrightarrow left{ beginarraylx ge  – frac13\x ne 0endarray right. Rightarrow D = left( – frac13;+infty right]backslash left 0 right$

7. $beginarraylleft{ beginarrayl0 < 3x+2 ne 1\1 – sqrt x – 4x^3  > 0endarray right. Leftrightarrow left{ beginarraylx ge  – frac23\x ne  – frac13;x ne 0endarray right.\ Rightarrow D = left( – frac23;+infty right)left – frac13;0 right\endarray$

Bài 2:

1. Điều kiện: $left{ beginarrayl1 – x^2 ge 0\fracx – 1x+1 > 0endarray right.$ $ Leftrightarrow $ 2 trường hợp:

+) TH1: $ – 2 le x <  – 1$

+) TH2: $1 < x le 2$

$ Rightarrow D = left[ – 2; – 1 right) cup left( 1;2 right]$

2. Điều kiện: $left{ beginarraylx^2 – 4x+3 ge 0\0 < x ne 1\x^2 – 4 > 0endarray right. Rightarrow D = left[ 1;+infty right)$

3. Điều kiện: $left{ beginarraylsqrt x^2+1  – x > 0\fracx+2x – 3 ge 1endarray right. Rightarrow D = left( 3;+infty right)$

4. Điều kiện : $left{ beginarrayl0 < x ne \sqrt x^2+2x  – 3 > 1endarray right. Rightarrow D = left( – 1+sqrt 17 ;+infty right)$

Bài 3:

1. Hàm số xác định với mọi $x$ thuộc $R$$ Leftrightarrow left{ beginarraylfracx^2 – mx+1x^2 – x+1 > frac23left( 3 right)\frac{x^2 – mx+1}{x^2 – x+1} le frac23left( 4 right)endarray right.forall x in R$
$ Leftrightarrow left{ beginarraylx^2 – left( 3m – 2 right)x+1 > 0\x^2+left( 2m – 3 right)x+1 ge 0endarray right.forall x in R Leftrightarrow left{ beginarraylDelta _1 = 9m^2 – 12m < 0\Delta _2 = 4m^2 – 12m+5 le 0endarray right.$$ Leftrightarrow left{ beginarrayl0 < m < frac43\frac12 le m le frac52endarray right. Leftrightarrow frac12 le m < frac43$

2. Điều kiện: $2x^2 + 3x + 2m + 1 > 0forall x in R Leftrightarrow m > frac1716$

3. Điều kiện: $fracx^2 + 2mx + m + 2x^2 + 3 > 0forall x in R Leftrightarrow  – 1 < m < 2$

4. Điều kiệu: $left{ beginarraylfracx^2 + mx + 13x^2 – 2mx + 2m – 1 > 0\3x^2 – 2mx + 2m – 1 ne 0endarray right.forall x in R$, không tồn tại $m$.

Kết luận

Tập xác định của hàm số là tập hợp các giá trị giúp hàm số đó có nghĩa. Trong toán học, tập xác định của hàm số được sử dụng khá nhiều để đối chiếu kết quả. Mặc dù là một bước cơ bản, nhưng nó quyết định đến các kết quả và hướng đi của cả bài toán. Người làm toán cần đặc biệt chú trọng đến vấn đề này trong quá trình học toán và làm bài tập toán.