Chia sẻ Giải Phương Trình Bậc 4

Đánh giá Giải Phương Trình Bậc 4 là conpect trong nội dung hiện tại của Emerald City Convergence. Theo dõi content để biết đầy đủ nhé.

CHƯƠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM:

1. Phương trình bậc bốn biết trước một nghiệm

Hiện nay, với sự hỗ trợ của máy tính bỏ túi thì việc các phương trình đã trở nên đơn giản hơn nhờ một chức năng quan trọng, đó là chức năng dò nghiệm của phương trình. Chức năng này cũng có thể hỗ trợ trong việc giải phương trình bậc hai, bậc ba, thế nhưng việc hỗ trợ này lại có vẻ không quan trọng lắm, bởi trong máy tính bỏ túi thông thưởng cũng đã có chức năng giải phương trình bậc hai và phương trình bậc ba. Thế nhưng với phương trình bậc bốn, việc không có sẵn chức năng giải phương trình bậc bốn sẽ đưa ta đến việc dùng chức năng dò nghiệm của phương trình.

(Các kĩ năng dò nghiệm bằng máy tính các bạn tham khảo ở phần phụ lục).

Trong mục này thì chúng ta sẽ đi tìm cách giải tổng quát phương trình bậc bổn, từ đó so sánh ưu và nhược điểm so với khi dùng máy tính bỏ túi.

Ví dụ 1: Giải phương trình $x^4 – x^3 – x^2 + 4x – 12 = 0$.

Phân tích: Việc nhẩm nghiệm cho phương trình này mang tính chất quyết định. Nếu nhẩm được nghiệm $x = 2$ (hoặc $x = – 2$) thì dùng sơ đồ Hooc-ne ta sẽ đưa được phương trình về phương trình tích:

$x^4 – x^3 – x + 4x – 12 = 0 Leftrightarrow left( x – 2 right)left( x^3 + x^2 + x + 6 right) = 0$.

Việc tìm nghiệm của $left( x^3 + x^2 + x + 6 right)$ thì quá đơn giản, ta chỉ cần dùng máy tính thì thấy ngay có thêm nghiệm $x = – 2$. Vậy thì khi trình bày bài toán này, ta sẽ dùng phân tích nhân tử.

Bài giải:

$x^4 – x^3 – x + 4x – 12 = 0 Leftrightarrow left( x – 2 right)left( x + 2 right)left( x^2 – x + 3 right) = 0 Leftrightarrow x =  pm 2$.

(do $x^2 – x + 3 = left( x – frac12 right)^2 + frac114 > 0$).

Vậy phương trình có các nghiệm là $x =  pm 2$.

Ví du 2: Giải phương trình $10x^4 – 39x^3 + 30x^2 + 37x – 42 = 0$.

Bài giải:

Phương trình đã cho tương đương với:

$left( 5x – 7 right)left( 2x – 3 right)left( x + l right)left( x – 2 right) = 0 Leftrightarrow x =  – 1 vee x = 2 vee x = frac32 vee x = frac75.$

Vi dụ 3: Giải phương trình $x^4 – 2x^3 + 3x^2 – 8x + 4 = 0$.

Bài giải:

Phương trình đã cho tương đương với:

$left( x – 2 right)left( x^3 + 3x – 2 right) = 0 Leftrightarrow x = 2$ hoặc $x^3 + 3x – 2 = 0left( 1 right)$.

Giải (*) (chính là Bài 3.a, Chương 2. Phương trình bậc ba), ta kết luận được phương trình có hai nghiệm $x = 2$ và $x = sqrt[3]1 + sqrt 2 + sqrt[3]1 – sqrt 2 $.

Nhận xét: Nếu nhẩm được một nghiệm trong phương trình bậc bốn thì việc còn lại là xử lí phương trình bậc ba điều này chúng ta đã làm quen ở Chương 2 $ to $ việc xử lí trọn phương trình bậc bốn là đơn giản.

Vậy nhưng không phải lúc nào phương trình bậc 4 cũng có thể nhẩm được nghiệm như vậy. Lúc đó ta sẽ đưa phương trình bậc 4 về dạng phương trình tích để xử lí.

2. Một số phương trình bậc bốn dạng đặc biệt

a, Phương trình trùng phương và phương trình quy được về phương trình trùng phương:

Phương trình trùng phương có dạng: $ax^4 + bx + c = 0(a ne 0)$.

Thực chất đây là phương trình bậc hai với ẩn $t = x^2$, trong đó $t ge 0$:

$at^2 + bt + c = 0$.

Việc giải phương trình này là không khó, chỉ cần lưu ý điều kiện $t ge 0$.

Ví dụ 4: Giải phương trình $2x^4 + 3x^2 – 7 = 0$.

Giải:

Đặt $t = x^2left( t ge 0 right)$ thì phương trình đã cho trở thành:

$2t^2 + 3t – 7 = 0 Leftrightarrow left[ beginarraylt = frac – 3 + sqrt 65 4 > 0 Rightarrow x pm sqrt t  =  pm fracsqrt – 3 + sqrt 65 2\t = frac – 3 – sqrt 65 4 < 0endarray right.$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm $x =  pm frac{sqrt – 3 + sqrt 65 }2$

Ví dụ 5: Giải phương trình $x^4 – 4x^3 + 5x^2 – 2x – 3 = 0$.

Giải:

Đặt $x = t + 1$ thì phương trình trên trở thành:

$(t + 1)^4 – 4(t + 1)^3 + 5(t + l)^2 – 2(t + l) – 3 = 0$$ Leftrightarrow t^4 – t^2 – 3 = 0 Leftrightarrow t^2 = frac1 – sqrt 13 2 < 0$ loại $ vee t^2 = frac1 – sqrt 13 2$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm $x =  pm sqrt frac1 + sqrt 13 2 $

Nhận xét: Lời giải trên dựa vào nhận xét sau:

Để kiểm tra phương trình $ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0$ có phải có bản chất là phương trình trùng phương hay không, ta dùng phép đặt $x = t – fracb4a$

Ngoài ra ta nên nhớ hằng đẳng thức bậc bốn:

$(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^3$.

Ví dụ 6: Giải phương trình $left( x – 1 right)^4 + left( x + 3 right)^4 = 40$.

Giải:

Đặt $x = t – 1$ thì phương trình đã cho trở thành:

$(t – 2)^4 + (t + 2)^4 = 40 Leftrightarrow 2t^4 + 48t^2 – 8 = 0$

$ Leftrightarrow t^2 =  – 12 – 2sqrt 37  < 0$  (loại) $ vee t^2 = 2sqrt 37  – 12$ (thỏa mãn).

$t =  pm sqrt 2sqrt 37  – 12  Rightarrow x =  – 1 ne sqrt 2sqrt 37  – 12 $.

Nhận xét: Với phương trình dạng $left( x + a right)^4 + (x + b)^4 = c$, ta đặt $x = t$  để quy phương trình đã cho về phương trình trùng phương với ẩn $t$.

b, Phương trình bậc bốn hồi quy và phương trình phản hồi quy:

Phương trình bậc bốn hồi quy có dạng:

$ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a = 0(a ne 0)$.

Vì $a ne 0$ nên chắc chắn $x = 0$ không phải là nghiệm của phương trình $ Rightarrow x ne 0$. Chia hai vế cho $x^2 ne 0$ ta được:

$ax^2 + bx + c + fracbx + fracax^2 = 0 Leftrightarrow aleft( x^2 + frac1x^2 right) + bleft( x + frac1x right) + c = 0$.

Đặt $t = x + frac1x(left| t right| ge 2)$ thì $x^2 + frac1x^2 = t^2 – 2$. Phương trình trên trở thành:

$a(t^2 – 2) + bt + c = 0$.

Giải phương trình này tìm $t$ (lưu ý điều kiện $left| t right| ge 2$).

Sở dĩ có điều kiện $left| t right| ge 2$ là do $left| x + frac1x right| = fracx^2 + 1 x right ge frac x right = 2$

Với cách giải tương tự, ta hoàn toàn có thể giải được phương trình bậc bốn phản hồi quy có dạng: $ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a = 0(a ne 0)$.

Ta chia hai vế cho $x^2$ rồi đặt $t = x – frac1x$ (không cần điều kiện của $t$ vì với $x ne 0$ thì $left( x – frac1x right)$ có tập giá trị là $R$)để giải quyết.

Ví dụ 7: Giải phương trình $2x^4 + 3x^3 – 5x^2 + 3x + 2 = 0$.

Giải: (Phương trình có dạng hồi quy)

Ta thấy $x = 0$ không là nghiệm của phương trình $ Rightarrow x ne 0$. Lúc đó chia hai vế của phương trình cho $x^2 ne 0$ ta được:

$x^2 + 3x – 5 + frac3x + frac2x^2 = 0 Leftrightarrow 2left( x^2 + frac1x^2 right) + 3left( x + frac1x right) – 5 = 0left( * right)$.

Đặt $t = x + frac1x$  (điều kiện $left| t right| ge 2$) $x^2 + frac1x^2 = t^2 – 2$. Lúc đó (*) trở thành:

$2left( t^2 – 2 right) + 3t – 5 = 0 Leftrightarrow t = frac32$ (loại) $t =  – 3$  (thỏa mãn).

Với $t =  – 3 Rightarrow x + frac1x =  – 3 Leftrightarrow x^2 + 3x + 1 = 0 Rightarrow x = frac – 3 pm sqrt 5 2$

Ví dụ 8: Giải phương trình $x^4 + 3x^3 – 6x^2 – 3x + 1 = 0$.

Giải: (Phương trình có dạng phản hồi quy)

Dễ thấy $x = 0$ không thỏa mãn phương trình đã cho $ Rightarrow x ne 0$. Lúc này chia hai vế của phương trình cho $x^2 ne 0$, ta được:

$x^2 + 3x – 6 – frac3x + frac1x^2 = 0 Leftrightarrow left( x^2 + frac1x^2 – 2 right) + 3left( x + frac1x right) – 4 = 0$

$ Leftrightarrow left( x – frac1x right)^2 + 3left( x – frac1x right) – 4 = 0 Leftrightarrow left[ beginarraylx – frac1x = 1\x – frac1x =  – 4endarray right. Leftrightarrow left[ beginarraylx = frac1 pm sqrt 5 2\x =  – 2 pm sqrt 5endarray right.$

Tập nghiệm của phương trình là $S = left frac1 pm sqrt 5 2; – 2 pm sqrt 5 right$

Ví dụ 9: Giải phương trình $x^4 + 3x^3 – 6x^2 + 6x + 4 = 0$.

Giải: Thấy $x = 0$ không là nghiệm của phương trình $ Rightarrow x ne 0$. Khi đó chia hai vế cho $x^2 ne 0$ ta được:

$x^2 + 3x – 6 + frac6x + frac6x^2 = 0 Leftrightarrow left( x^2 + frac4x^2 + 4 right) + 3left( x + frac2x right) – 10 = 0$

$ Leftrightarrow left( x + frac2x right)^2 + 3left( x + frac2x right) – 10 = 0 Leftrightarrow left[ beginarraylx + frac2x =  – 5\x + frac2x = 2left( vo,nghiem right)endarray right. Leftrightarrow x = frac – 5 pm sqrt 17 2$

Vậy phương trình có hai nghiệm là $x = frac – 5 pm sqrt 17 2$.

Nhận xét: Phương trình trên có dạng:

$ax^4 + bx^3 + cx^2 + bkx + ak^2 = 0left( a ne 0 right)$.

Đây là dạng mở rộng của phương trình hồi quy. Tương tự ta cũng suy ra cách giải cho dạng mở rộng của phương trình phản hồi quy:

$ax^4 + ax^3 + cx^2 – bkx + ak^2 = 0left( a ne 0 right)$.

c. Phương trình bậc bốn khuyết $x^3$.

Phương trình có dạng $ax^4 + bx^2 + cx + d = 0$.

Ví dụ 10: Giải phương trình $x^4 – 11x^2 + 12x – 3 = 0$.

Giải: Dựa trên ý tưởng đưa phương trình về dạng $left( ax^2 + b right)^2 = left( cx + d right)^2$, ta sẽ triển khai như sau:

– Bước 1: Cô lập $x^4$ về một vế:

$x^4 = rm 11x^2 – 12x + 3$.

– Bước 2: Nhóm bình phương ở vế trái bằng cách cộng thêm vào hai vế một lượng là $left( 2mx^2 + m^2 right)$, trong đó $m$ là hằng số ta sẽ đi tìm cho phù hợp:

$beginarraylx^4 + 2mx^2 + m^2 = left( 2m + 11 right)x^2 – 12x + left( 3 + m^2 right).\Leftrightarrow left( x^2 + m right)^2 = left( 2m + 11 right)x^2 – 12x + left( 3 + m^2 right)left( * right)endarray$.

– Bước 3: Tìm hằng số $m$ sao cho vế phải là một bình phương đúng, tức là biệt thức $Delta $ của vế phải đúng bằng 0

$ Leftrightarrow 12^2 – 4left( 2m + 11 right)left( 3 + m^2 right) = 0 Leftrightarrow m =  – 1 vee m = frac – 9 pm sqrt 105 4$

Để bài giải có tính thẩm mĩ của bài toán thì ta nên chọn $m =  – 1$. (*) trở thành: $left( x^2 – 1 right)^2 = 9x^2 – 12x + 4 Leftrightarrow left( x^2 – 1 right)^2 = left( 3x – 2 right)^2$

$ Leftrightarrow left[ beginarraylx^2 – 1 = 3x – 2\x^2 – 1 = 2 – 3xendarray right. Leftrightarrow left[ beginarraylx = frac3 pm sqrt 5 2\x = frac – 3 pm sqrt 5 2endarray right.$

Kết luận phương trình có tập nghiệm $S = left{ frac3 pm sqrt 5 2;frac – 3 pm sqrt 5 2 right}$.

Nhận xét: Như vậy việc giải phương trình dạng khuyết $x^3$ được chia làm các bước quan trọng như trên. Quan trọng vẫn là bước giải phương trình tìm m, nếu phương trình bậc ba ẩn $m$ dễ giải thi quá tuyệt vời!

d. Phương trình dạng $left( x + a right)left( x + b right)left( x + c right)left( x + d right) = m$, trong đó $a + b = c + d$:

Cách giải của phương trình này là xét trường hợp $x = 0$, còn trường hợp $x ne 0$ thì biến đổi hai phương trình về:

$left[ x^2 + left( a + b right)x + ab right]left[ x^2 + left( c + d right)x + cd right] = m$.

Do $a + b = c + d$ nên ta đặt $t = x^2 + left( a + b right)x$ thì phương trình trở thành:

$left( t + ab right)left( t + cd right) = m$, đây là phương trình bậc hai ẩn $t to $  tìm $t to x$.

Tất nhiên không phải lúc nào phương trình cũng cho ở dạng này, nó có thể cho “hiểm hơn” bằng cách nhóm lại, ví dụ:

Ví dụ 11: Giải phương trình $left( x^2 + 4x + 3 right)left( x^2 + 12x + 35 right) = 9$.

Giải: Phương trình đã cho tương đương với:

(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)=9(x+1)(x+7)(x+3)(x+5)=9

(x2+8x+7)(x2+8x+15)=9(x2+8x)2+22(x2+8x)+96=0

$beginarraylleft( x + 1 right)left( x + 3 right)left( x + 5 right)left( x + 7 right) = 9 Leftrightarrow left( x + 1 right)left( x + 7 right)left( x + 3 right)left( x + 5 right) = 9\Leftrightarrow left( x^2 + 8x + 7 right)left( x^2 + 8x + 15 right) = 9 Leftrightarrow left( x^2 + 8x right)^2 + 22left( x^2 + 8x right) + 96 = 0\Leftrightarrow left[ beginarraylx^2 + 8x =  – 6\x^2 + 8x =  – 16endarray right. Leftrightarrow left[ beginarraylx =  – 4 pm sqrt 10 \x =  – 4endarray right.endarray$ (thỏa mãn)

Tập nghiệm của phương trình đã cho là $S = left – 4; – 4 pm sqrt 10 right$.

e. Phương trình dạng $left( x^2 + bx + d right)left( x^2 + cx + a right) = mx^2$

Đầu tiên thử xem $x = 0$ có phải là nghiệm của phương trình hay không.

Khi $x ne 0$ thì chia hai vế cho $x^2 ne 0$ ta được: $left( x + fracax + b right)left( x + fracax + x right) = m$.

(“chia phân phát” ở vế trái, mỗi dấu ngoặc ta chia cho $x$)

Đây là phương trình bậc hai ẩn $t = x + fracax$.

Ví dụ 12: Giải phương trình $left( x + l right)left( x + 2 right)left( x + 3 right)left( x + 6 right) = frac – 3x^24$

Phân tích: Nhận xét rằng $6 times 1 = 2 times 3$ nên ta sẽ dùng phép phân phối để đưa về dạng phương trình đã đề cập:

$left[ left( x + l right)left( x + 6 right) right]left[ left( x + 2 right)left( x + 3 right) right] = frac – 3x^24$

$ Leftrightarrow left( x^2 + 7x + 6 right)left( x^2 + 5x + 6 right) = frac – 3x^24$ (dễ thấy $x ne 0$)

$ Leftrightarrow left( x + frac6x right)^2 + 12left( x + frac6x right) + frac1434 = 0 Leftrightarrow left[ beginarraylx + frac6x = frac – 112\x + frac6x = frac – 132endarray right. Leftrightarrow left[ beginarraylx = frac – 32\x =  – 4\x = frac – 13 pm sqrt 73 4endarray right.$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = left{ { – 4;frac – 32;frac – 13 pm sqrt 73 4} right}$

3. Cách giải phương trình bậc bốn tổng quát

Cách giải phương trình bậc bổn tổng quát được xây dựng dựa trên cách giải phương trình bậc bốn dạng khuyết $x^3$.

Ví dụ 13: Giải phương trình $2x^4 + 5x^3 + 5x^2 – 11x – 10 = 0$.

Định hướng 1: Mục đích của chung ta là phân tích phương trình bậc 4 này thành phương trình tích có dạng:

$left( ax^2 + bx + c right)left( a’x^2 + b’x + c’ right) = 0$.

Ta không dùng hệ số bất định trong trường hợp này vì thu được hệ phương trình phức tạp, khó giải. Đồng thời nếu không biết dùng chính xác thì rất dễ gây ngộ nhận (ta sẽ đề cập ở phần cuối của bài này).

Bấm máy tính dò nghiệm thấy ra hai nghiệm lẻ $x_1 approx  – 0,7807764064$ và $x_2 approx 1,280776406$  (cách bấm máy chi tiết tham khảo cuối lời giải này). Hai nghiệm này sẽ là hai nghiệm của một tam thức bậc hai trong số hai tam thức bậc hai trên mà ta định phân tích, chẳng hạn chúng là nghiệm của tam thức$left( ax^2 + bx + c right)$ chẳng hạn. Dùng định lí Viét đảo:

$left{ beginarraylx_1 + x_2 = frac – ba = 0,5\x_1x_2 = fraccd =  – 1endarray right. Leftrightarrow c =  – a = 2b to $ chọn $a = 2 Rightarrow b =  – 1,c =  – 2$$ Rightarrow $ nhân tử có dạng $left( 2x^2 – x – 2 right) Rightarrow $ dùng phép chia đa thức hoặc sơ đồ Hooc-ne để tìm nhân tử còn lại (nên sử dụng phép chia đa thức), ta được:

$left( 2x^4 + 5x^3 + 5x^2 – 11x – 10 right)$ chia $left( 2x^2 – x – 2 right)$ được $left( x^2 + 3x + 5 right)$

(dư 0, tức là phép chia hết).

Vậy vế trái có thể tách được dạng nhân tử: $left( 2x^2 – x – 2 right)left( x^2 + 3x + 5 right)$.

Trình bày lời giải:

Phương trình đã cho tương đương với:

$left( 2x^2 – x – rm 2 right)left( x^2 + 3x + 5 right) = 0 Leftrightarrow left[ beginarrayl2x^2 – x – 2 = 0\x^2 + 3x + 5 = 0endarray right.$ (vô nghiệm)

Bấm máy tính (áp dụng máy tính fx-570ES Plus):

Định hướng 2: Sử dụng cách giải phương trình bậc 4 tổng quát.

– Bước 1: Đầu tiên nhóm bình phương số hạng chứa $x^4$ và $x^3$ và chuyển vế:

$beginarrayl2left( x^4 + frac52x^3 right) + 5x^2 – 11x – 10 = 0\Leftrightarrow 2left( x^4 + 2x^2.frac5x4 + frac25x^216 right) + frac15x^28 – 11x – 10 = 0\Leftrightarrow 2left( x^2 + frac5x4 right)^2 = frac – 15x^28 + 11x + 10left( 1 right)endarray$

Bước 2: Chèn tham số $m$ vào để được $2left( x^2 + frac5x4 + m right)$ ở vế phải, tức là cần chèn thêm một lượng là $2left[ 2mleft( x^2 + frac5x4 right) + m^2 right]$ vào hai vế của (1):

$beginarrayl2left[ {left( x^2 + frac5x4 right)^2 + 2mleft( x^2 + frac5x4 right) + m^2} right] = left( 4m – frac158 right)x^2 + left( 5m + 11 right)x + left( 10 + 2m^2 right)\Leftrightarrow 2left( x^2 + frac5x4 + m right)^2 = left( 4x – frac158 right)x^2 + left( 5m + 11 right)x + left( 10 + 2m^2 right)left( 2 right)endarray$

– Bước 3: cần tìm hệ số $m$ sao cho vế phải là một bình phương đúng, tức là:

$Delta _VP = 0 Leftrightarrow left( 5m + 11 right)^2 – 4left( 4m – frac158 right)left( 10 + 2m^2 right) = 0 Leftrightarrow m = 2$.

Thay trở lại vào phương trình (2), ta có:

$2left( x^2 + frac5x4 + m right)^2 = frac498x^2 + 21x + 18 Leftrightarrow 2left( x^2 + frac5x4 + m right)^2 = 2left( frac7x4 + 3 right)^2$

$ Leftrightarrow left[ beginarraylx^2 + frac5x4 + 2 = frac7x4 + 3 Leftrightarrow x = frac1 pm sqrt 17 4\x^2 + frac5x4 + 2 = frac – 7×4 – 3endarray right.$  (vô nghiệm)

Định hướng 3: Sử dụng phương pháp hệ số bất định để tách phương trình thành dạng nhân tử: $left( mx^2 + ax + b right)left( nx + cx + d right) = 0$.

Thế nhưng với 6 ẩn là $m,a,b,n,c,d$ dự trù mà chỉ có 5 phương trình (ứng với 5 hệ số trong phương trình) thì sẽ không giải được ra 6 ẩn. Theo dõi trên một số nguồn trên mạng thì thấy khá nhiều bạn ngộ nhận dạng của phương trình khi được phân tích là:

$left( 2x^2 + ax + b right)left( x^2 + cx + d right) = 0$, với $a,b,c,d$ là các số nguyên.

Việc đặt điều kiện “nguyên” là hoàn toàn không có căn cứ và mang tính chất suy đoán, vậy nên khi áp dụng với các phương trình khác thì sẽ sai ngay. Điều kiện đúng của ta ở đây phải là $a,rm b,c,d in R$. Nhiều bạn sẽ hỏi tại sao lại cho $m = 2$ và $n = 1$ ? Đây chỉ là hệ số mà chúng ta chọn để cho “đẹp”, thực ra chúng ta có thể chọn $m, n$ bất kì, miễn chúng thỏa mãn điều kiện $mn = 2$ (2 chính là hệ số trước $x^4$). Bây giờ khai triển và giải hệ:

$beginarrayl2x^4 + 5x^3 + 5x^2 – 11x – 10 = left( 2x^2 + ax + b right)left( x^2 + cx + d right)\

Leftrightarrow 2x^4 + 5x^3 + 5x^2 – 11x – 10 = 2x^4 + left( a + 2c right)x^3 + left( b + ac + 2d right)x^2 + left( bc + ad right)x + bdendarray$$ Leftrightarrow left{ beginarrayla + 2c = 5left( 1 right)\b + ac + 2d = 5left( 2 right)\bc + ad =  – 11left( 3 right)\bd =  – 10left( 4 right)endarray right.$

Hệ phương trình này lại là một hệ phương trình không mẫu mực. Nhưng nếu nhìn nó dưới một góc độ khác, chỉ lấy phương trình (1) và (2) xem đó như hệ phương trình bậc nhất hai ẩn $a,c$. Nhưng để giải được hệ này thì nhận xét rằng $d = 0$ hay $d = frac – 115$ thì không thỏa mãn hệ 4 ẩn trên.

$beginarraylleft{ beginarrayla + 2c = 5\ad + bc =  – 11endarray right. Leftrightarrow left{ beginarraylad + 2cd = 5d\ad + bc =  – 11endarray right.\Leftrightarrow left{ beginarraylleft( 2d – b right)c = 5d + 11\a + 2c = 5endarray right. Leftrightarrow left{ beginarraylc = frac5d + 112d – b\a = frac5b + 22b – 2dendarray right.endarray$

Từ (4) ta có $d = frac – 10b$, đồng thời thay $a,c$ vào (2) được phương hình ẩn $b$

$b + frac5d + 112d – b.frac5d + 22b – 2d + 2d = 5 Leftrightarrow b + fracleft( 5b + 22 right)left( 5.frac – 10b + 11 right){{ – {left( b – 2.frac – 102 right)^2}}} + 2.frac – 10b = 5$

Với mục đích tìm một giá trị nào đó của $d$ nên ta chỉ cần nhập phương trình này vào máy tính và sử dụng chức năng SOLVE, ta được:

$b = 10 Rightarrow d =  – 1 Rightarrow c = frac – 12$ và $a = 6$.

(hoặc có thể SOLVE được $b =  – 2 Rightarrow d = 5rm Rightarrow a =  – 1,c = 3$.

Như vậy ta có thể phân tích được hai kiểu nhờ dùng hệ số bất định (thực ra cùng bản chất):

$left( 2x^2 + 6xrm + 10 right)left( x^2 – frac12x – 1 right) = 0$ hoặc $left( 2x^2 – x – 2 right)left( x^2 + 3x + 5 right) = 0$.

Nhân xét: Với bài này thì víệc dùng hệ số bất định ở Định hướng 3 vẫn còn phức tạp, còn phương pháp dùng máy tính bỏ túi ở Định hướng 1 thì cho kết quả khá nhanh. Vì đây là bài toán với nghiệm ở dạng $x = k + sqrt t $ nên hai phương pháp này còn tỏ ra hiệu quả. Chứ nếu nghiệm mà như các Ví dụ 1, 2, 3 thì hai định hướng này trở nên “bất lực”. Độ phức tạp Định hướng 2 nằm trung gian giữa 3 định hướng trên (trong bài toán này), nhưng nó có ưu điểm là áp dụng được cho tất cả các phương trình bậc bốn có thể phân tích thành nhân tử: bao gồm cả các dạng hồi quy, phản hồi quy, trùng phương,…

$ Rightarrow $ Với các bài toán được gặp thì chỉ nên dùng Định hướng 1 và Định hướng 2 để giải quyết, và nếu nhớ luôn Định hướng 2 như một khuôn mẫu giải phương trình bậc bốn thì ta chẳng cần lo lắng gì khi gặp phương trình bậc bốn nữa!

Giải phương trình bậc bốn tổng quát: $ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0left( a ne 0 right)$ thường trải qua các bước:

-Bước 1: Nhóm bình phương các số hạng chứa $x^4$ và $x^3$, đồng thời chuyển vế các số hạng có bậc không vượt quá 2 về một vế.

$aleft( x^2 + fracb2ax right)^2 = left( fracb^24a – c right)x^2 – dx – e$

– Bước 2: Chèn tham số $m$ vào để thu được hẳng đẳng thức:

$a{left( x^2 + fracb2ax + m right)^2} = left( 2am + fracb^24a – c right)x^2 + left( mb – d right)x + left( am^2 – e right)$

– Bước 3: Tìm hệ số $m$ sao cho vế phải là một bình phương đúng, tức là:

$Delta _VP = 0 Leftrightarrow left( mb – d right)^2 – 4left( {2am + fracb^24a – c} right)left( am^2 – e right) = 0$.

Giải phương trình bậc ba ẩn m này ta thu hệ số m đẹp nhất để “lắp” vào tính toán. Phương trình bậc ba nên ta luôn có thể giải được, và luôn có ít nhất một nghiệm $ Rightarrow $ Phương trình lúc đó trở thành dạng: $A^2 = B^2 Leftrightarrow A =  pm B$.

Bây giờ ta đi tìm hiểu một phương trình nữa để phân tích điểm mạnh yếu của hai định hướng giải phương trình bậc bốn thông dụng là sử dụng máy tính bỏ túi và sử dụng cách giải phương trình bậc bốn tổng quát.

Ví dụ 14: Giải phương trình $3x^4 + x^3 – 7x^2 + 2 = 0$.

Định hưởng 1: Sử dụng máy tính bỏ túi.

Sử dụng máy tính bỏ túi, hoàn toàn có thể SOLVE ra được cả 4 nghiệm của phương trình là $x_1 approx 1,215250437;x_2 approx 0,6180339887;x_3 approx  – 0,54858377;x_4 approx  – 1,618033989$ (cách bấm máy được nêu cuối lời giải).

Thử tổng và tích của từng cặp nghiệm thì nhận thấy các “số đẹp” sau:

$x_1x_3 = frac – 23;x_1 + x_3 = frac23;x_2x_4 =  – 1;x_2 + x_4 =  – 1$.

Như vậy theo định lí Viét đảo thì các cặp nghiệm $left( x_1;x_3 right)$ và $left( x_2;x_4 right)$ lần lượt là nghiệm của phương trình: $x^2 – Sx + P = 0$, tức là:

$x^2 – left( x_1 + x_3 right)x + x_1x_3 = 0 Leftrightarrow x^2 – frac23x + frac23 = 0$

và $x^2 – left( x_2 + x_4 right)x + x_1x_4 = 0 Leftrightarrow x^2 + x – 1 = 0$.

– $ to $ tách phương trình thành phương trình tích:

$3left( x^2 – frac23x – frac23 right)left( x^2 + x – 1 right) = 0 Leftrightarrow left[ beginarrayl3x^2 – 2x – 2 = 0\x^2 + x – 1 = 0endarray right.$$ Leftrightarrow x = frac1 pm sqrt 7 3 vee x = frac – 1 pm sqrt 5 2$

Bấm máy tính (áp dụng máy tính fx-570ES Plus):

Tiếp tục gán giá trị này vào biến B, rồi lại SOLVE phương trình

$frac3x^4 + x^3 – 7x^2 + 2left( x – A right)left( x – B right)$, tìm được nghiệm thì lại gán vào biến $C$, rồi lại SOLVE phương trình $frac3x^4 + x^3 – 7x^2 + 2left( x – A right)left( x – B right)left( x – C right)$ tìm được nghiệm thì gán vào biến $D$.

Sau đó dùng máy tính thử các tổng, tích như $AxB,AxC,AxD$ xem giá trị nào đẹp. Thử đến $AxC$ thấy được $AC = frac – 23$, thử tổng $left( A + C right) = frac23 to $ từ đó kết luận được nhân tử chung $left( x^2 – frac23x – frac23 right)$.

Lưu ý: Chỉ cần phát hiện được một nhân tử là bài toán được giải quyết. Thật vậy, khi đó ta chỉ cần dùng phép chia đa thức để chia $left( 3x^4 + x – 7x^2 + 2 right)$ cho $left( x^2 – frac23x – frac23 right)$ để phát hiện nhân tử còn lại $ to $ tức là ta chỉ cần SOLVE 3 nghiệm $A,B,C$ sau đó thử tùng cặp tổng, tích của $A,B,C$ xem cái nào “đẹp” thi ta phát hiện ra ngay một nhân tử!

4. Một số kĩ năng cần có sau khi xử lí phương trình bậc bốn

a. Kĩ năng phân tích đa thức bâc bốn thành nhân tử:

Mấu chốt của víệc phân tích đa thức thành nhân tử đó là nhẩm được nghiệm của phương trình. Muốn làm được điều này thì ta sử dụng kĩ năng nhẩm nghiệm của bản thân, hoặc sử dụng máy tính để nhẩm nghiệm.

Với đa thức bậc bốn có dạng: $fleft( x right) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + eleft( a ne 0 right)$.

Ta có thể phân ra hai trường hợp phân tích đa thức thành nhân tử đó là:

THI: $fleft( x right)$ nhẩm được ít nhất một nghiệm đẹp là $x_0$:

Lúc đó ta phân tích $fleft( x_0 right) = aleft( x – x_0 right)left( x^3 + b’x^2 + c’x + d’ right)$, tiếp tục xem đa thức $x^3 + b’x^2 + c’x + d’$ có phân tích được nhân tử nữa không thì phân tích tiếp.

TH2: $fleft( x right)$ không có nghiệm đẹp (hoặc có thể là vô nghiệm) và phân tích được thành dạng:

$Fleft( x right) = aleft( x^2 + b’x + c’ right)left( x^2 + b”x + c”x right)$.

Muốn phân tích được như thế này thì ta dùng máy tính bỏ tủi hoặc giải phương trình $fleft( x right) = 0$ theo cách giải phương trình bậc bổn tổng quát.

Thông thường với các bài hay gặp, chúng ta cũng chỉ gặp dạng khó là dạng này. Vậy nên nếu dùng thành thạo được máy tính bỏ túi thì sẽ giúp ích được các bạn phân tích nhân tử khá nhanh (thành dạng tích).

Ví dụ 15: Phân tích đa thức thành nhân tử $fleft( x right) = x^4 + x^2 + 1$.

Giải: Với đa thức bậc bốn không có nghiệm thực thì điều đó không có nghĩa là đa thức đó không thể phân tích đa thức thành nhân tử. Bạn có thể sử dụng cách giải phương trình bậc bốn để nhóm nhân tử: $x^4 + x^2 + 1 = 0 Leftrightarrow x^4 =  – x^2 – 1 Leftrightarrow left( x^2 + m right)^2 = left( 2m – l right)x^2 + left( m^2 – 1 right)left( * right)$.

Để vế trái là một bình phương đúng thì $left{ beginarrayl2m – 1 = 0\m^2 – 1 > 0endarray right.$ (để vế trái chỉ có hệ số tự do dương) hoặc $left{ beginarrayl2m – 1 > 0\m^2 – 1 = 0endarray right.$ (để vế trái chỉ có lượng dương $x^2$) $ Leftrightarrow m = 1$.

Với $m = 1$ thì(*)thành:

$left( x^2 + l right)^2 = x^2 Leftrightarrow left( x^2 + l right)^2 – x^2 = 0 Leftrightarrow left( x^2 – x + l right)left( x^2 + x + 1 right) = 0$.

Như vậy có thể phân tích được $fleft( x right) = left( x^2 – x + l right)left( x^2 + x + 1 right)$.

$ Rightarrow $ Dạng phân tích nhân tử $fleft( x right) = x^4 + ax^2 + b^2$  (điều kiện $2b ge a$) thì ta nhóm nhân tử như sau: $fleft( x right) = left( x^4 + 2bx^2 + b^2 right) – left( 2b – a right)x = left( x^2 + b right) – left( xsqrt 2b – a right)^2 = …$

b, Kĩ thuật chứng minh phương trình bậc bốn vô nghiệm trên một đoan:

Đứng trước bài toán chứng minh phương trình sau vô nghiệm trên $left[ m;n right]$:

$ax^4 + bx^3 + cx + dx + e = 0left( a ne 0 right)$.

Ta thường đi khảo sát hàm số $fleft( x right) = ax^4 + bx^3 + cx + dx + e$ trên $left[ m;n right]$ để kết luận về tập giá trị của $fleft( x right)$  (gọi tập đó là D). Nếu tập D không chứa điểm 0 thì phương trình $fleft( x right) = 0$ vô nghiệm trên $left[ m;n right]$. Sau khi khảo sát thấy min và max của $fleft( x right)$ trên $left[ m;n right]$ đều là số đẹp thì nên dùng cách “ăn gian” rút gọn lời giải giống như việc Chứng minh phương trình bậc ba vô nghiệm trên một đoạn.

Ví dụ 16: Chứng minh phương trình $x^4 – x^3 + 5x^2 – 11x + 7 = 0$ vô nghiệm trên $left[ 0;2 right]$.

Giải:

Đặt $fleft( x right) = x^4 – x^3 + 5x^2 – 11x + 7$. Ta có: $f’left( x right) = 4x^3 – 3x^2 + 10x – rm 11$;

$f’left( x right) = 0 Leftrightarrow left( x – 1 right)left( 4x^2 + x + 11 right) = 0 Leftrightarrow x = l$.

Ta có: $fleft( 0 right) = 7;fleft( 1 right) = 1;fleft( 2 right) = 13 Rightarrow left{ beginarraylmathop min limits_left[ 0;2 right] fleft( x right) = 1\mathop rmmaxlimits_left[ 0;2 right] fleft( x right) = 13endarray right.$$ Rightarrow fleft( x right) ge 1forall x in left[ 0;2 right] Rightarrow $ phương trình $ Rightarrow fleft( x right) ge 1forall x in left[ 0;2 right] Rightarrow $ vô nghiệm trên $left[ 0;2 right]$.

Chú ý: Từ kết quả trên ta có các trình bày khác như sau:

$beginarraylx^4 – x^3 + 5x^2 – 11x + 7 = left( x^4 – x^3 + 5x^2 – 11x + 6 right) + 1\= left( x – 1 right)^2left( x^2 + x + 6 right) + 1 ge 1forall x in left[ 0;2 right]endarray$

$ Rightarrow $ phương trình đã cho vô nghiệm trên $left[ 0;2 right]$.

Ở đây là trường hợp giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) của hàm số đạt tại điểm $x_0$ là một số nguyên (hoặc có thể là một phân số) nên ta dùng cách này. Nếu $x_0$ có dạng chứa căn $x_0 = a pm 4b$ thì ta không nên dùng cách phân tích này.

Ví dụ 17: Chứng minh phương trình $x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = 0$ vô nghiệm.

Giải: Với bài toán này thì ta có hai hướng tiếp cận:

– Hướng 1: Nhóm bình phương:

$x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 =  left( x^4 + x^3 + fracx^24 right) + frac34left( x^2 + frac43x + frac49 right) + frac23 = left( x^2 + fracx2 right)^2 + frac34left( x + frac23 right)^2 + frac23 > 0$

$ Rightarrow $ phương trình vô nghiệm.

– Hướng 2: Dùng phân tích nhân tử $ to $ phương trình vô nghiệm nên không thể dùng máy tính SOLVE.

$x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = 0 Leftrightarrow left( x^2 + fracx2 right)^2 = frac – 34x^2 – x – 1$.

$ Leftrightarrow left( x^2 + fracx2 + m right)^2 = left( 2m – frac34 right)x^2 + left( m – 1 right)x + left( m^2 – 1 right)left( * right)$

Cần tìm $m$ sao cho vế phải là một bình phương đúng, với hệ số $a$ âm hay dương đều được (nếu hệ số $a$ dương thì VP thành $aleft( kx + k’ right) to $ chuyển vế áp dụng được hằng đẳng thức $A^2 – B^2 = left( A – B right)left( A + B right)$ để phân tích nhân tố, còn nếu hệ số $a < 0$ thì phương trình thành $A^2 =  – B^2 Leftrightarrow A = B = 0 to $ dạng này dễ giải quyết.

$Delta  = 0 Leftrightarrow left( m – 1 right)^2 – 4left( 2m – frac34 right)left( m^2 – 1 right) = 0 Leftrightarrow m = 1 vee m = frac – 1 pm sqrt 5 4$

– Với $m = 1$ (thì hệ số $a > 0$),(*)thành:

$ Leftrightarrow left( x^2 + fracx2 + 1 right)^2 = frac54x^2 Leftrightarrow x^2 + fracx2 + 1 =  pm fracxsqrt 5 4$, vô nghiệm.

Chinh phục phương trình, bất phương trình đại số

– Với $m = frac – 1 – sqrt 5 4$  (thì hệ số $a < 0$),(*)thành:

$beginarraylLeftrightarrow left( x^2 + fracx2 – frac1 + sqrt 5 4 right)^2 = frac1 + sqrt 5 2left[ x^2 + left( 3 – sqrt 5 right)x + frac7 – 3sqrt 5 2 right]\Leftrightarrow left( x^2 + fracx2 – frac1 + sqrt 5 4 right)^2 = frac1 + sqrt 5 2left( frac1 + sqrt 5 4 right)^2\Leftrightarrow x^2 + fracx2 – frac1 + sqrt 5 4 = x + frac3 – sqrt 5 2 = 0endarray$, vô lí.

Trường hợp $m = frac – 1 + sqrt 5 4$ tương tự trường hợp $m = frac – 1 – sqrt 5 4$

Nói chung ta nên chọn số $m$ thế nào cho đẹp để dễ trình bày!

-Hướng 3: Dựa vào tính chất hằng đẳng thức:

$a – b^n = (a – b)(a^n – 1 + a^n – 2.b + …rm + a.b^n – 2 + n^n – ^1)$, với $n in N*$.

Thấy $x = 1$ không thỏa mãn phương trình. Với $x ne 1 Leftrightarrow left( x – 1 right) ne 0$ thì phương trình tương đương với:

$(x – 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) = 0 Leftrightarrow x^5 – 1 = 0 Leftrightarrow x = 1$, không thỏa mãn.

– Hướng 4: Dùng khảo sát hàm số.

Vướng mắc duy nhất của dùng khảo sát hàm số đó là tìm nghiệm của $f’left( x right)$, bởi vì nghiệm của $f’left( x right)$ không phải lúc nào cũng “đẹp”! Với bài này thì ta quá “mất công” đi giải phương trình $f’left( x right)$.

Nhận xét: Hướng 3 là hướng đặc biệt, làm nhanh gọn nhưng không phải phương trình nào cũng áp dụng được. Hướng 1 cũng khá nhanh gọn, dựa trên hai quy trình chính là nhóm bình phương các số hạng chứa $x^4$ và $x^3$, sau đó còn dư bao nhiêu $x^2$ thì thử nhóm bình phương các số hạng chứa $x^2$ và $x$. Hướng này là hướng thông dụng, với mỗi bài toán thì ta nên thử hướng này trước(không mất quá nhiều thời gian) tất nhiên có thể không thành công. Hướng 2 tỏ ra lại hiệu quả ở những bài có thể phân tích nhân tử chung. Hướng 4 thì lại không hiệu quả ở bài này vì mất thời gian giải tìm nghiệm $f’left( x right) = 0 to $ cần áp dụng phương pháp phù hợp cho từng bài toán.

II. BÀI TẬP ÁP DỤNG:

1. Phần bài tập:

Các bài tập ở phần này sẽ tập trung vào víệc giải phương trình bậc bốn có thể tách được thành dạng nhân tử với nghiệm chi chứa một lớp căn thức, đây chính là vấn đề đáng chú ý nhất ở chương này và móc nối với các phần khác.

Bài 1: Giải các phương trình sau:

a) $x^4 + 13x = x^3 + 7x^2 + 6$.

b) $x^2 + 3 = frac5x + 2left( x + frac1x^2 right)$.

c) $6left( x + l right)^4 = 17x^3 + 52x^2 + 37x + 30$.

d) $left( x^2 – x + 1 right)^2 = 3left( x^3 + x^2 + 1 right)$

e) $frac2xx^2 + x + 1 + frac3xx^2 – 3x + 1 + frac73 = 0$.

f) $left( x + frac12 right)^4 + left( x – frac32 right)^4 = 2$

g) $left( x^2 + 3x – 2 right)left( x^2 – 5x – 2 right) = 9x^2$

h) $left( x^2 + x + 1 right)x = frac12x + 1$

Bài 2: Giải các phương trình sau:

a) $2x^4 – 5x^3 + x^2 – 5x + 2 = 0$.

b) $x^4 + x + 1 = x^3 + 7x^2$

c) $left( x + l right)left( x + 2 right)^2left( x + 3 right) = 6$.

d) $left( x + 2 right)^4 + left( x + 3 right)^4 = left( 2x + 5 right)^4$.

e) $x^4 + 2x^2 + 10x + 4 = 5x^3$.

f) $left( x + 2 right)left( l – x right)left( 2x^2 + 2x – 7 right) = 1$

g) $15x^4 + 11x^3 – 78x^2 – rm 71x – 9 = 0$.

h) $4x^4 – 3x^3 – 14x^2 + 8x + 9 = 0$.

Bài 3: Chứng minh các phương trình sau vô nghiệm:

a) $x^4 – 2x^3 + 2x^2 – 6x + 10 = 0$.

b) $x^4 – 3x^3 + 6x^2 – 5x + 3 = 0$.

2. Lời giải và đáp số

Bài 1:

a) Biến đổi phương trình: $x^4 + 13x – x^3 – 7x^2 – 6 = 0 to $ tổng hệ số $1 + 13 + left( – 1 right) + left( – 7 right) + left( – 6 right) = 0 to $ phương trình có nghiệm $x = 1 to $ dùng sơ đồ Hooc-ne ta phân tích được:

$x^4 + 13x – x – 7x^2 – 6 = left( x – 1 right)left( x^3 – 7x + 6 right)$

$ to $ tiếp tục $x = 1x^3 – 7x + 6$ lại có các nghiệm là $x = 1,x = 2,x =  – 3$ nên phân tích được:

$left( x^3 – 7x + 6 right) = (x – 1)left( x – 2 right)left( x + 3 right)$.

Trình bày: Phương trình đã cho tương đương với:

$left( x + 3 right)left( x – 2 right)left( x – l right)^2 = 0 vee x = 1 vee x = 2 vee x =  – 3$.

Tập nghiệm của phương trình là $S = left 1;2; – 3 right$.

b)Với dạng phương trình thể này thì ta cũng không thể đặt ẩn phụ dạng $t = left( x + fracax right)$, vậy nên việc nhân chéo là việc nên làm (trong đầu nhẩm tính muốn nhân chéo thì sẽ phải nhân hai vế $x^2$  (một lượng bậc hai) vào hai vế, lúc đó vế trái nhiều nhất sẽ là bậc bốn, vế phải nhiều nhất sẽ là bậc ba $ to $ phương trình trở thành phương trình bậc 4 $ to $ có khả năng giải được).

Thật vậy, nhân chéo hai vế cho $x^2 ne 0$ ta được:

$x^4 + 3x^2 = 5x + 2x^3 + 2 Leftrightarrow x^4 – 2x^3 + 3x^2 – 5x – 2 = 0$

$ to $ SOLVE được $x = 2$ khi cho giá trị khởi đầu dương $ to $ phân tích thành: $left( x – 2 right)left( x^3 + 3x + 1 right) = 0$

Nghiệm của đa thức $left( x^3 + 3x + 1 right)$ thì ta dùng phép đổi biến $x = t – frac1t$ quen thuộc!

Trình bày: Điều kiện: $x ne 0$. Phương trình đã cho tương đương với:

$x^4 + 3x^2 = 5x + 2x^3 + 2 Leftrightarrow left( x – 2 right)left( x^3 + 3x + l right) = 0 Leftrightarrow left[ beginarraylx = 2\x^3 + 3x + l = 0left( * right)endarray right.$

+) Giải(*):

Do $fleft( t right) = t – frac1t$  (với $t ne 0$) có tập giá trị là $R$. nên có thể đặt: $x = t – frac1t$, lúc đó (*) trở thành:

$left( t – frac1t right)^3 + 3left( t – frac1t right) + 1 Leftrightarrow t^3 – frac1t^3 + 1 = 0 Leftrightarrow t^6 + t^3 – 1 = 0$

$ Leftrightarrow t^3 = frac – 1 pm sqrt 5 2 Leftrightarrow t = sqrt[3]{{frac – 1 pm sqrt 5 2}}$

Với hai giá trị trên của $t$ thì ứng với duy nhất một giá trị của $x$ là

$x = sqrt[3]frac – 1 + sqrt 5 2 – sqrt[3]{frac1 + sqrt 5 2}$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm $x = 2$ và $x = sqrt[3]{frac – 1 + sqrt 5 2} – sqrt[3]{{frac{1 + sqrt 5 }2}}$

c)Trước tiên là bước rút gọn: $6x^4 + 7x^3 – 16x^2 – 13x – 24 = 0$.

Đên đây có thể dùng máy tính bỏ túi dò nghiệm hoặc có thể dùng cách giải phương trình bậc bốn dạng tổng quát (do nghiệm dò được đều lẻ).

Định hướng 1: Dò nghiệm.

Hai nghiệm dò được là $x_1 approx 1,765564437$ và $x_2 approx  – 2,265564437$

$ to x_1x_2 =  – 4 = fracca$ và $x_1 + x_2 = frac – 12 = frac – ba to $ nhân tử là $left( 2x^2 + x – 8 right)$  (chọn $a = 2$ thì $b = 1$ và $c =  – 8$) $ to $ phân tích tiếp.

Định hướng 2: Dùng cách giải phương trình tổng quát.

$beginarrayl6x^4 + 7x^3 – 16x^2 – 13x – 24 = 0 Leftrightarrow 6left( x^2 + frac7x12 right)^2 = frac433x^224 + 13x + 24\Leftrightarrow 6left( x^2 + frac7x12 right)^2 = left( 12m + frac43324 right)x^2 + left( 7m + 13 right)x + left( 24 + 6m^2 right)left( * right)endarray$

Cầm tìm $m$ sao cho: $left( 7m + 13 right)^2 – 4left( 24 + 6m^2 right)left( 12m + frac43324 right) = 0$, SOLVE phương trình này ta được $m =  – 1,5 = frac – 32 to $ thay vào (*)

$beginarrayl6left( x^2 + frac7x12 – frac32 right)^2 = fracx^224 + frac5x2 + frac752 Leftrightarrow left( x^2 + frac7x12 – frac32 right)^2 = fracx^2144 + frac{5x}12 + frac254\Leftrightarrow {left( x^2 + frac7x12 – frac32 right)^2} = left( fracx12 + frac52 right)^2 Leftrightarrow x^2 + frac{7x}12 – frac32 =  pm left( fracx12 + frac52 right)\Leftrightarrow left[ beginarraylx^2 + fracx{12} – 4 = 0 Leftrightarrow x = frac – 1 pm sqrt 65 4\x^2 + frac2x3 + 1 = 0endarray right.endarray$ (Vô nghiệm)

Tóm lại nhờ hai hướng này ta trình bày được bài toán một cách ngắn gọn như sau: Phương trình đã cho tương đương với:

$left( 2x^2 + x – 8 right)left( 3x^2 + 2x + 3 right) = 0 Leftrightarrow left[ beginarrayl2x^2 + x – 8 = 0\3x^2 + 2x + 3 = 0endarray right.$ (vô nghiệm)

$ Leftrightarrow x = frac – 1 pm sqrt 65 4$

Nhân xét: Có vẻ Định hướng 2 tỏ ra nặng tính toán hơn, Định hướng 1 thì cần kĩ năng bấm máy tính (có thể cải thiện được nhanh qua quá trình bấm máy) và cần “chờ máy dò ra nghiệm” (một lần chờ dò nghiệm trung bình khoảng 30s nếu cho giá trị khởi đầu không “hợp lý”). Nhiều lúc víệc “chờ máy dò nghiệm” cũng làm ta sửng sốt, vậy nên không nên phụ thuộc quá vào máy tính bỏ túi.

d) Phân tích: Ta thấy vế trái và vế phải đều có bậc là 4, nên nếu rút gọn phương trình lại thì chắc hắn sẽ giải được.

Thế nhưng nếu chú ý một chút về việc phân tích nhân tử khi khuyết $x^3$ và $x$:

$x^4 + x^2 + 1 = left( x^2 + 1 right)^2 – x^2 = left( x^2 – x + 1 right)left( x^2 + x + 1 right)$

$ to $ thấy ngay nhân tử ở hai vế là $x^2 – x + 1$.

Trình bày: Phương trình đã cho tương đương với:

$beginarrayl(x^2 – x + 1)^2 = 3left[ {left( x^2 + 4 right)^2 – x^2} right]\Leftrightarrow (x^2 – x + 1)^2 = 3left( x^2 + x + 1 right)left( x^2 – x + 1 right) Leftrightarrow 2left( x^2 – x + 1 right)left( x + 1 right)^2 = 0\Leftrightarrow x =  – 1endarray$ (do $x^2 – x + 1 = left( x – frac12 right)^2 + frac34 > 0$)

e) “Nhẩm tính” nếu muốn làm mất hết dấu phân thức thì cần nhân vào một lượng là $3left( x^2 + x + 1 right)left( x^2 – 3x + 1 right)$$ Rightarrow $ lúc đó phương trình trở thành phương trình bậc 4:

$6xleft( x^2 – 3x + 1 right) + 9xleft( x^2 + x + 1 right) + 7left( x^2 + x + l right)left( x^2 – 3x + 1 right) = 0$<$ Rightarrow $ $7x^4 + x^3 – 16x^2 + x + 7 = 0$, đây là phương trình bậc bốn hồi quy $ to $ việc giải cũng khá nhanh. Ngoài ra nghiệm “chẵn” của bài này cũng giúp ta xử lí theo hướng đưa về phương trình tích khá dễ dàng. Với cách trên thì có lẽ “ngán” nhất là việc quy đồng và khai triển các biểu thức ra để thu được phương trình bậc 4. Việc này thì cần phải có, kĩ năng, vậy nên các bạn đừng ngại, nếu thành thạo kĩ năng này thì sẽ giải quyết được rất nhiều bài toán.

Thể nhưng hãy chú ý đến một số dấu hiệu giúp ta xử lí bài toán nhanh hơn:

$frac2xx^2 + x + 1 + frac3xx^2 – 3x + 1 + frac73 = 0$

– Có $x$ ở trên tử số.

– Ở dưới hai mẫu số thì hệ số trước $x^2$ bằng hệ số tự do.

$ to $ nếu chia cả tử số và mẫu số cho $x$ thì thu được:

$frac2x + 1 + frac1x + frac3x – 3 + frac1x + frac73 = 0 to $ đặt $t = x + frac1x to $ phương trình trở thành:

$frac2t + 1 + frac3t – 3 + frac73 = 0$, giải phương trình này khá đơn giản so với việc khai triển các biểu thức ra để thu được phương trình bậc 4.

Tất nhiên vì chia cho $x$ nên ta phải xét trường hợp $x = 0$ trước đã nhé!

Trình bày: Điều kiện $left( x^2 – 3x + l right)left( x^2 + x + rm l right) ne 0 Rightarrow x ne frac3 pm sqrt 5 2$

Dễ thấy $x = 0$ không thỏa mãn phương trình $ Rightarrow x ne 0$.

Lúc đó phương trình tương đương với: $frac2x + 1 + frac1x + frac3x – 3 + frac1x + frac73 = 0$

Đặt $t = x + frac1x$  (điều kiện $left| t right| ge 2$) thì (*) trở thành:

$frac2t + 1 + frac3t – 3 + frac73 = 0 Leftrightarrow t = 2 vee t = frac – 157$ (đều thỏa mãn).

– Với $t = 2 Rightarrow x + frac1x = 2 Leftrightarrow left( x – 1 right)^2 = 0 Leftrightarrow x = 1$

– Với $t = frac – 157 Rightarrow x + frac1x = frac – 157 Leftrightarrow x^2 + frac15x7 + 1 = 0 Leftrightarrow x = frac – 15 pm sqrt 29 14$

Đối chiếu điều kiện ta có tập nghiệm là $S = left{ {1;frac – 15 pm sqrt 29 14} right}$;

Tổng quát:

$fracmxax^2 + bx + a’ + fracnxkax^2 + cx + ka’ = d$

(tỉ số $fracHe,sotruocx^2He,so,tu,do$ ở các mẫu số bằng nhau).

Bài tập: Giải phương trình $frac2x3x^2 – x – 6 + fracx2x^2 – x – 4 = 2$.

(Đáp số: $x = 2;x =  – 1$ và $x = frac5 pm sqrt 1177 24$).

f) Đặt $x = t – frac12$ thì phương trình đã cho trở thành:

$left( t – 1 right)^4 + left( t + 1 right)^4 = 2 Leftrightarrow 2t^2left( t^2 + 6 right) = 0 Leftrightarrow t = 0 Leftrightarrow x = frac – 12$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = frac – 12$

g) Nếu khai triển phương trình này thì ta phân tích được thành nhân tử:

$left( x^2 + 4x – 2 right)left( x^2 – 6x – 2 right) = 0$.

Tất nhiên quá trình này vẫn đòi hỏi kĩ năng tính toán chuẩn xác.

Trình bày: (theo hướng dạng đặc biệt ở mục 2.e)

Dễ thấy $x = 0$ không thỏa mãn phương trình $ Rightarrow $ $x ne 0$. Lúc này chia hai vế của phương trình cho $x^2 ne 0$ ta được:

$left( x – frac2x + 3 right)left( x – frac2x – 5 right) = 9 Leftrightarrow left( x – frac2x right)^2 – 2left( x – frac2x right) – 24 = 0$

$ Leftrightarrow left[ beginarraylx – frac2x = 6\x – frac2x =  – 4endarray right. Leftrightarrow left[ beginarraylx^2 – 6x – 2 = 0\x^2 + 4x – 2 = 0endarray right. Leftrightarrow left[ beginarraylx = 3 pm sqrt 11 \x =  – 2 pm sqrt 6endarray right.$ (thỏa mãn)

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = left 3 pm sqrt 11 ; – 2 pm sqrt 6 right$.

h) “Lớp vỏ” ngụy trang cho phương trình này là dạng phân thức và dạng tích. Khi quy đồng lên ta được: $left( x^2 + x + l right)xleft( x + 1 right) = 12$.

Khai triển phương trình này để giải thì không khó, nhưng nếu chú ý dạng tích khi ta phân phối vào: $left( x^2 + x + l right)left( x^2 + x right) = 12$, ta sẽ giải quyết bài toán được một cách nhanh chóng hơn.

Trình bày: Điều kiện $x ne 0$. Phương trình đã cho tương đương với:

$beginarraylleft( x^2 + x + 1 right)xleft( x + 1 right) = 12 Leftrightarrow (x^2 + x + 1)left( x^2 + x right) = 12\Leftrightarrow left( x^2 + x right)^2 + left( x^2 + x right) – 12 = 0 Leftrightarrow left[ beginarraylx^2 + x – 3\x^2 + x =  – 4left( vo,nghiem right)endarray right.\Leftrightarrow x = frac – 1 pm sqrt 13 2endarray$

Bài 2.

a) Cách 1: Dùng máy tính bỏ túi dò được hai nghiệm $x_1 approx 2,618033989$ và $x_2 approx 0,3819660113$

$left{ beginarraylx_1 + x_2 = 3 = frac – ba\xkern 1pt _1x_2 = 1 = fraccaendarray right. Rightarrow $ chọn $a = 1 Rightarrow b =  – 3;c = 1$$ Rightarrow $ nhân tử $left( x^2 – 3x + 1 right)$ $ Rightarrow $ phân tích được$left( x^2 – 3x + 1 right)left( 2x^2 + x + 2 right) = 0$.

Cách 2: Nếu dùng cách giải phương trình hồi quy:

xét $x = 0$ không thỏa mãn $ Rightarrow $ $x ne 0$. Lúc đó phương trình tương đương:

$beginarrayl2x^2 – 5x + l – frac5x + rm 2 = 0 Leftrightarrow 2left( x + frac1x right)^2 – 5left( x + frac1x right) – 3 = 0\Leftrightarrow left[ beginarraylx + frac1x = 3 Leftrightarrow x^2 – 3x + 1 = 0 Leftrightarrow x = frac3 pm sqrt 5 2\x + frac1x =  – frac12 Leftrightarrow 2x^2 + x + 2 = 0,vo,nghiemendarray right.endarray$

Vậy phương trình có nghiệm là $x = frac3 pm sqrt 5 2$.

b) Chuyển vế được phương trình: $x^4 – x^3 – 7x^2 + x + 1 = 0left( * right)$.

Hướng 1: Dùng máy tính bỏ túi dò nghiệm $x_1 approx 3,112566159$ (gán vào biến $A$), rồi tiếp tục SOLVE phương trình $fracx^4 – x^3 – 7x^2 + x + 1left( x – A right) = 0$ thì được nghiệm $x_2 approx 0,4468083242$ (gán vào biến $B$), lại tiếp tục SOLVE phương trình $fracx^4 – x^3 – 7x^2 + x + 1left( x – A right)left( x – B right) = 0 to $ nghiệm $x_3 approx  – 0,3212783115$  (gán vào biến $C$), đến đây nếu muốn có thể SOLVE $fracx^4 – x^3 – 7x^2 + x + 1left( x – A right)left( x – B right)left( x – C right) = 0$ ra nghiệm $x_4 approx  – 2,238096172$  (gán vào biến $D$). Thử ngay được $AC =  – 1$, nhưng $left( A + C right)$ thì lại lẻ, tương tự $BD =  – 1$ nhưng $left( B + D right)$ lại lẻ [ to $ hướng này không khả thi.

Hướng 2: Nhận thấy phương trình có dạng phản hồi quy nên ta trình bày:

– Xét $x = 0$ không thỏa mãn phương trình.

– Với $x ne 0$, chia hai vế của (*) cho $x^2 ne 0$, ta được:

$beginarraylx^2 – x – 7 + frac1x + frac1x^2 = 0 Leftrightarrow left( x – frac1x right)^2 – left( x – frac1x right) – 5 = 0 Leftrightarrow x – frac1x = frac1 pm sqrt 21 2\Leftrightarrow x = frac1 + sqrt 21  pm sqrt 38 + sqrt 21 4 vee x = frac1 – sqrt 21  pm sqrt 38 – 2sqrt 21 4endarray$

Tập nghiệm $S = left{ {frac{1 + sqrt 21  pm sqrt 38 + sqrt 21 }4;frac{1 – sqrt 21  pm sqrt 38 – 2sqrt 21 }4} right}$

Hướng 3: Dùng cách giải phương trình bậc 4 tổng quát (bạn đọc tự làm).

c) Phương trình có dạng $left( x + l right)left( x + 2 right)left( x + 2 right)left( x + 3 right) = 6$, trong đó $left( 1 + 3 right) = left( 2 + 2 right)$ (dạng ở mục 2.d) nên ta trình bày nhanh:

Phương trình đã cho tương đương với:

$beginarraylleft( x + 4x + 3 right)left( x^2 + 4x + 4 right) = 6 Leftrightarrow left( x^2 + 4x right)^2 + 7left( x^2 + 4x right) + 6 = 0\Leftrightarrow left( x^2 + 4x + 6 right)left( x^2 + 4x + 1 right) = 0\Leftrightarrow x^2 + 4x + 1 = 0left( doleft( x^2 + 4x + 6 right) = left( x + 2 right)^2 + 2 > 0 right) Leftrightarrow x =  – 2 pm sqrt 3endarray$

Vậy phương trình có hai nghiệm $ =  – 2 pm sqrt 3 $.

Chú ý: Ngoài ra nếu khai triển phương trình thu được phương trình bậc 4 thì hoàn toàn có thể xử lý được theo hướng dùng máy tính bỏ túi hoặc dùng cách giải phương trình bậc 4 tổng quát.

d) Thoạt nhìn vào phương trình thì chắc là sẽ nhiều người đi theo hướng khai triển phương trình và giải nó, đây hoàn toàn là tư duy bình thường và có thể xử lí được bài toán. Nhưng để ý chút: $left( x + 2 right) + left( x + 3 right) = left( 2x + 5 right)$, thì ta đã có một hướng xử lí mới cho bài toán này: Đặt $a = left( x + 2 right)$ và $b = left( x + 3 right)$ thì phương trình trở thành:

$beginarrayla^4 + b^4 = (a + b)^4 Leftrightarrow 4ab + 6a^2b^2 + 4ab^2 = 0 Leftrightarrow 2ab(2a + 3ab + 2b^2) = 0\Leftrightarrow left[ beginarrayla = 0 Rightarrow x =  – 2\b = 0 Rightarrow x =  – 3\2a^2 + 3ab + 2b^2 = 0 Rightarrow 7x^2 + 35x + 44 = 0left( vo,nghiem right).endarray right.endarray$

Vậy phương trình có hai nghiệm $x =  – 2$ và $x =  – 3$.

e) Chuyển vế ta thu được phương trình: $x^4 – 5x^3 + rm 2x^2 + 10x + 4 = 0$.

– Hướng 1: Dùng máy tính dò nghiệm, ta phát hiện được hai nhân tử là $left( x^2 – 3x – 2 right)$ và $left( x^2 – 2x – 2 right)$.

– Hướng 2: Kiểm tra $a = 1,b =  – 5,c = 2,d = 10,e = 4$ thấy $k = frac – db = sqrt fracea $ nên phương trình có dạng phản hồi quy mở rộng.

xét $x = 0$ không thỏa mãn phương trình $x ne 0$. Lúc đó chia hai vế của phương trình cho $x^2$ ta được:

$beginarraylx^2 – 5x + 2 + frac10x + frac4x^2 = 0 Leftrightarrow left( x^2 – 4 + frac4x^2 right) – 5left( x – frac2x right) + 6 = 0\Leftrightarrow left( x – frac2x right)^2 – 5left( x – frac2x right) + 6 = 0 Leftrightarrow x – frac2x = 2 vee x – frac2x = 3\Leftrightarrow x = 1 pm sqrt 3  vee x = frac3 pm sqrt 17 2endarray$

Tập nghiệm của phương trình $S = left{ {1 pm sqrt 3 ;frac3 pm sqrt 17 2} right}$

f) Hướng 1: Biến đổi phương trình được $2x^4 + 4x^3 – 9x^2 – 11x + 15 = 0$. Đến đây sử dụng máy tính bỏ túi hoặc sử dụng cách giải phương trình bậc bốn tổng quát ta đưa về phương trình tích:

$left( 2x^2 + 2x – 5 right)left( x^2 + x – 3 right) = 0$.

Hưởng 2: Dạng tích của phương trình bậc 4 “luôn đáng được nghi ngờ”. Thật vậy cái vỏ “tích của hai biểu thức bậc nhất” thường là cái vỏ ngụy trang cái chất bên trong của nó, thử phân tích:

$left( x + 2 right)left( 1 – x right) =  – x^2 – x + 2$, đến đây thì tỉ lệ hệ số trước $x^2$ và x là $1:1$, đúng bằng tỉ lệ hệ số trước $x^2$ và x ở $left( 2x^2 + 2x – 7 right)$, vậy nên bản chất của phương trình đã cho là phương trình bậc hai với ẩn $t = x^2 + x$.

Trình bày: Phương trình đã cho tương đương với:

$beginarraylleft( – x^2 – x + 2 right)left( 2x^2 + 2x – 7 right) = 1 Leftrightarrow  – 2left( x^2 + x right)^2 + 11left( x^2 + x right) – 15 = 0\Leftrightarrow x^2 + x = 3 vee x^2 + x = frac52 Leftrightarrow x = frac – 1 pm sqrt 13 2 vee x = frac – 1 pm sqrt 11 2endarray$

Tập nghiệm của phương trình là $S = left{ {frac – 1 pm sqrt 13 2;frac – 1 pm sqrt 11 2} right}$

g) Gợi ý: Phân tích nhân tử:

$(3x^2 + 7x + l)(5x^2 – 8x – 9) = 0 Leftrightarrow x = frac – 7 pm sqrt 37 6 vee x = frac4 pm sqrt 61 5$

h) Phương trình đã cho tương đương:

$(x^2 – x – 1)(4x^2 + x – 9) = 0 Leftrightarrow x = frac1 pm sqrt 5 2 vee x = frac – 1 pm sqrt 145 8$

Bài 3: Với yêu cầu chứng minh phương trình vô nghiệm trên $R$ thì phương pháp nhóm bình phương luôn tỏ ra hiệu quả “trông thấy”.

a) $x^4 – 2x^3 + 2x^2 – 6x + rm 10 = left( x^2 – x right)^2 + left( x – 3 right)^2 + 1 > 0forall x in R$.

$ Rightarrow $ phương trình đã cho vô nghiệm (đpcm).

b) $x^4 – 3x^3 + 6x^2 – 5x + 3 = {left( x^2 – frac3x2 right)^2} + frac154{left( x^2 – frac23 right)^2} + frac43 > 0$

$ Rightarrow $ phương trình đã cho vô nghiệm (đpcm).

Ngoài ra có thể phân tích vế trái thành nhân tử:

$left( x^2 – x + 1 right)left( x^2 – 2x + 3 right) = left[ {left( x + frac1x right)^2 + frac34} right]left[ left( x – 1 right)^2 + 2 right] > 0$

Bạn thấy bài viết thế nào?